Математическая задача Купцова Л. — треугольники на сторонах треугольни
На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены
подобные между собой треугольники ADB, BEC и CFA
(DBAD = ECBE = FACF = k;
∠ADB = ∠BEC = ∠CFA = α). Докажите, что:
середины отрезков AC, DC, BC и EF — вершины
параллелограмма;
у этого параллелограмма два угла равны α, а
отношение сторон равно k.
Разобрать решение+
Обозначим через
вектор, получающийся из вектора
a поворотом на угол α против часовой стрелки.
Известно, что
(ka)' = k для любого числа k,
(a + b)' = + , и вообще,
для любого числа слагаемых,
(a + b +...+ c)' = + +...+ .
Введём векторы
DA = a, EB = b, FC = c
(рис.1). По условию задачи
DB = k1, EC = k1, FA = k1.
Поскольку
AD + DB + BE + EC + CF + FA = 0,
то
- a + k1 - b + k1 - c + k1 = 0,
т.е.
a + b + c = k1( + + c) = k1(a + b + c)'.
Обозначивa+b+cчерезu, получим, чтоu=k1.
Поскольку векторы
u и неколлинеарны
(
α= 0 и
α=2π), то
полученное равенство возможно тогда и только тогда, когда
u = 0.
Поэтому
a + b + c = 0.
Далее, так какQ— середина отрезкаDCиP— середина
отрезкаAC(рис.1), тоQP=21a.
АналогичноQR=21DB.
ПосколькуPQ||ADиQR||BD, то∠PQR=α.
Наконец,
RS = RC + CF + FS = 21BC - c + 21FE =
= 21 - b + k1 - c + 21c - k1 = - 21(b + c) = 21a = QP.
Таким образом, четырёхугольникPQRS— параллелограмм с
угломPQR, равнымα, и отношением длин сторон
вектор, получающийся из вектора
, и вообще,
для любого числа слагаемых,
+ 
+...+ 
.
.
Поскольку векторы
и 
неколлинеарны
(
0 и
2), то
полученное равенство возможно тогда и только тогда, когда
= .
Поэтому
- + 
- + 
- 
= - ( + ) = = .
