Олимпиадная задача Гальперина по многоугольнику с равными диагоналями

У квадрата и правильного пятиугольника все диагонали равны. Докажем, что других выпуклых многоугольников со всеми равными диагоналями не существует.

Предположим, что все диагонали выпуклого многоугольника

A₁A₂...A_n равны, и n $\geqslant$ 6. Рассмотрим выпуклый четырёхугольник

A₁A₂A₄A₅. Сумма его диагоналей A₁A₄ и A₂A₅ больше суммы противоположных сторон A₂A₄ и A₁A₅, что невозможно, т.к. по предположению эти суммы равны.