Олимпиадная задача по планиметрии о треугольниках A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂

Пусть M, N, K — середины отрезков A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ соответственно. Треугольники A₁B₁C₁, A₂B₂C₂ и MNK подобны, т.к. их углы соответственно равны.

Пусть B₁C₁ = a₁, B₂C₂ = a₂, a₂ > a₁. Тогда

$\displaystyle {\frac{a_{2}}{a_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{S_{2}}}{\sqrt{S_{1}}}}$.

Поскольку отрезокKNсоединяет серединыKиNдиагоналейC₁C₂иB₁B₂трапецииB₁C₁B₂C₂, тоKN=${\frac{1}{2}}$(a₂-a₁). Тогда

S_{$\scriptstyle \Delta$MNK} = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{KN}{B_{1}C_{1}}}\right.$$\displaystyle {\frac{KN}{B_{1}C_{1}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{KN}{B_{1}C_{1}}}\right)^{2}_{}$S₁ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a_{2} - a_{1}}{2a_{1}}}\right.$$\displaystyle {\frac{a_{2} - a_{1}}{2a_{1}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a_{2} - a_{1}}{2a_{1}}}\right)^{2}_{}$S₁ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a_{2}}{a_{1} - 1} }\right.$$\displaystyle {\frac{a_{2}}{a_{1} - 1}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a_{2}}{a_{1} - 1} }\right)^{2}_{}$S₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{\sqrt{S_{2}}}{\sqrt{S_{1} - 1}} }\right.$$\displaystyle {\frac{\sqrt{S_{2}}}{\sqrt{S_{1} - 1}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{\sqrt{S_{2}}}{\sqrt{S_{1} - 1}} }\right)^{2}_{}$S₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$($\displaystyle \sqrt{S_{2}}$ - $\displaystyle \sqrt{S_{1}}$)².