Олимпиадная задача Савина и Гальперина по планиметрии: равенство площа

Пусть точки M и N расположены соответственно на сторонах AC и AB треугольника ABC, K — точка пересечения отрезков BM и CN. Докажем, что три полученных треугольника BKN, BKC и CKM не могут быть равновеликими.

Предположим, что S_{$\scriptstyle \Delta$BKN} = S_{$\scriptstyle \Delta$BKC} = S_{$\scriptstyle \Delta$CKM}. Тогда точка K — середина CN и BM. Следовательно, четырёхугольник BNMC — параллелограмм, т.е. BN || CM, что невозможно.

Пусть S_AMKN = S_{$\scriptstyle \Delta$BKN} = S_{$\scriptstyle \Delta$CKM} = s. Высоты равновеликих треугольников BNC и BMC, проведённые из вершин N и M равны, поэтому NM || BC.

Обозначим

$\displaystyle {\frac{AN}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{AM}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{NM}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{MK}{KB}}$ = x.

Тогда

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta BKN}}{S_{\Delta BMA}}}$ = $\displaystyle {\frac{BN}{AB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{BK}{BM}}$ = (1 - x) ^. $\displaystyle {\frac{1}{1+x}}$ = $\displaystyle {\frac{1-x}{1+x}}$.

Отсюда находим, чтоx=${\frac{1}{3}}$. Следовательно,

S_{$\scriptstyle \Delta$BKC} = $\displaystyle {\frac{CK}{KN}}$S_{$\scriptstyle \Delta$BKN} = 3s.

Легко проверить, что если${\frac{AN}{AB}}$=${\frac{AM}{AC}}$=${\frac{1}{3}}$, то

S_AMKN = S_{$\scriptstyle \Delta$BKN} = S_{$\scriptstyle \Delta$CKM}.

Пусть теперь S_AMKN = S_{$\scriptstyle \Delta$BKN} = S_{$\scriptstyle \Delta$BKC} = s. Если S_{$\scriptstyle \Delta$CKM} = q, то

$\displaystyle {\frac{AN}{BN}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta ACN}}{S_{\Delta BCN}}}$ = $\displaystyle {\frac{s + q}{2s}}$, $\displaystyle {\frac{BK}{KM}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta BKC}}{S_{\Delta CKM}}}$ = $\displaystyle {\frac{BK}{KM}}$ = $\displaystyle {\frac{s}{q}}$.

Следовательно,

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{BN}{AB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{BK}{BM}}$ = $\displaystyle {\frac{2s}{3s+q}}$ ^. $\displaystyle {\frac{s}{s+q}}$.

После упрощения получим квадратное уравнение

q² + 4sq - s² = 0,

из которого находим, чтоq=s($\sqrt{5}$- 2). Докажем теперь, что если точка N на стороне AB треугольника ABC такова, что ${\frac{AN}{NB}}$ = ${\frac{\sqrt{5} - 1}{2}}$, а точка K — середина отрезка CN, то S_AMKN = S_{$\scriptstyle \Delta$BKN} = S_{$\scriptstyle \Delta$BKC}.

Пусть прямая BK пересекает сторону AC в точке M. Через вершину C проведём прямую, параллельную стороне AB, до пересечения с прямой BK в точке P. Из равенства треугольников PKC и BKN следует, что PC = BN, а из подобия треугольников PMC и BMA —

$\displaystyle {\frac{AM}{MC}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{PC}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{BN}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{5} + 1}{2}}$.

С помощью аналогичных рассуждений найдём, что

$\displaystyle {\frac{BK}{KM}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{5} - 2}}$.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta BKN}}{S_{\Delta BMA}}}$ = $\displaystyle {\frac{BN}{AB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{BK}{BM}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{5} + 1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{5} - 1}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$.

Таким образом,S_AMKN=S_{$\scriptstyle \Delta$BKN}=S_{$\scriptstyle \Delta$BKC}. Аналогично для случая, когда

S_AMKN = S_{$\scriptstyle \Delta$BKC} = S_{$\scriptstyle \Delta$CKN}.