Олимпиадная задача Золотых А. по планиметрии: шестиугольник в треуголь

  Пусть ABC – данный треугольник. Обозначим указанные точки деления, как показано на рисунке. Тогда  S_A1B₁C₁ = ¹/₃ S.

  Пусть F – точка пересечения прямых C₂A₂ и AC, MNKLPQ – шестиугольник, о котором говорится в условии. Из равенства треугольников FA₂C и C₂A₂A₁ следует, что  CF = C₂A₁ = ¹/₃ AC.

  Из подобия треугольников A₁NC₂ и B₁NF находим, что  A₁N : NB₁ = C₂A₁ : B₁F = 1 : 2.  Аналогично  A₁M : MC₁ = 1 : 2.  Поэтому  S_A1MN = ¹/₉ S_A1B₁C₁ = ^S/₂₇.

  Аналогично  S_B1KL = S_C1PQ = ^S/₂₇.  Следовательно,  S_MNKLPQ = ^S/₃ – 3·^S/₂₇ = 2S/₉.