Задание олимпиады по планиметрии: построение треугольника по биссектри

Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть AH — его высота, AD — биссектриса, AM — медиана.

Заметим, что продолжение биссектрисы AD и серединный перпендикуляр к стороне BC проходят через середину E дуги BC описанной окружности треугольника ABC. Поэтому отрезок MH — проекция отрезка AE на прямую BC, а т.к. точки A и E лежат по разные стороны от прямой BC, то точка D лежит между точками H и M.

Точка E пересечения прямой AD с серединным перпендикуляром к стороне BC лежит на описанной окружности треугольника ABC. Центр O этой окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к стороне BC и отрезку AE.

Отсюда вытекает следующий способ построения. На произвольной прямой строим точку H, затем последовательно строим точки A, D, M, E, O. Искомые вершины B и C треугольника ABC являются точками пересечения исходной прямой с окружностью радиуса OA с центром O.