Олимпиадная задача о точках K, L, M, N и A на окружности квадрата ABCD
На сторонах AB и AD квадрата ABCD взяты точки K и N соответственно. При этом AK . AN = 2BK . DN. Отрезки CK и CN пересекают диагональ BD в точках L и M. Докажите, что точки K, L, M, N и A лежат на одной окружности.
Разобрать решение
Пусть сторона квадрата равна 1. Обозначим BK = a, DN = b, ∠BKC = α, ∠DNC = β. Тогда (1 – a)(1 – b) = 2ab, откуда 1 – ab = a + b.
Поскольку tg α = 1/a, tg β = 1/b, то
Поэтому α + β = 135°. Значит, ∠BLK = 135° – α = β = ∠CND = ∠BCM = ∠BAM (из симметрии треугольников BCM и BAM относительно BD). Следовательно, точки K, L, M и A принадлежат одной окружности. Аналогично точки A, N, M и L лежат на одной (той же) окружности.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.