Олимпиадная математическая задача: треугольник DEC и точки D, E, C

Первый способ.

Пусть K — проекция точки D на BC, а Q — проекция точки B на AC. Точки K, D, Q и C лежат на окружности с диаметром CD. Поскольку

$\displaystyle \angle$EQD = $\displaystyle \angle$AQD - $\displaystyle \angle$AQE = 90^o - 60^o = 30^o,

$\displaystyle \angle$DKE = $\displaystyle \angle$DKC - $\displaystyle \angle$EKC = 90^o - $\displaystyle \angle$ABC = 90^o - 60^o = 30^o,

то отрезокDEвиден из точекQиKпод одним и тем же углом. Следовательно, точкиK,D,E,Qлежат на той же окружности. Поэтому

$\displaystyle \angle$DEC = 90^o, $\displaystyle \angle$DCE = $\displaystyle \angle$DQE = 30^o.

Второй способ.

Пусть C₁ — образ точки C при симметрии относительно точки E. Треугольник C₁DM равен треугольнику CDP, т.к.

C₁M = C₁P - MP = AC - MP = BC - BP = PC, MD = DP, $\displaystyle \angle$C₁MD = $\displaystyle \angle$CPD = 150^o.

ПоэтомуC₁D=CD. Следовательно, медианаDEравнобедренного треугольникаC₁DCявляется его высотой. ПустьK— середина отрезкаBP. ТогдаEK— средняя линия треугольникаAPB, а т.к. точкиEиKлежат на окружности с диаметромCD, то

$\displaystyle \angle$EDC = $\displaystyle \angle$EKC = 60^o, $\displaystyle \angle$DEC = 90^o, $\displaystyle \angle$DCE = 30^o.

Третий способ.

Повернём треугольник BMP на 60^o относительно точки C так, чтобы точка B перешла в A. Тогда точка P перейдёт в точку P₁ отрезка AC, точка M — в точку M₁, лежащую вне треугольника ABC, точка D — в точку D₁, центр треугольника AM₁P₁.

Четырехугольник DPD₁A — параллелограмм, DD₁ — его диагональ. Поэтому D₁D проходит через точку E и D₁E = DE.

Поскольку CE — медиана равнобедренного треугольника DCD₁(CD = CD₁), то $\angle$CED = 90^o, а т.к. $\angle$DCD₁ = 60^o, то $\angle$DCE = 30^o.