Олимпиадная задача Михайловского: проекции в четырёхугольнике

Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD; M, N, P, Q — проекции точки O на AB, BC, CD и AD. Тогда

$\displaystyle \angle$QMO + $\displaystyle \angle$QPO = $\displaystyle \angle$QAO + $\displaystyle \angle$QDO = 90^o

(т.к. точкиMиQлежат на окружности с диаметромAO, а точкиPиQ— на окружности с диаметромOD). Аналогично$\angle$OMN+$\angle$OPN= 90^o. Поэтому

$\displaystyle \angle$QPN + $\displaystyle \angle$QMN = 180^o.

Следовательно, четырёхугольникMNPQ— вписанный.