Олимпиадная задача по планиметрии про хорду MN и треугольники ABC
Для данной хорды MN окружности рассматриваются треугольники ABC, основаниями которых являются диаметры AB этой окружности, не пересекающие MN, а стороны AC и BC проходят через концы M и N хорды MN. Докажите, что высоты всех таких треугольников ABC, опущенные из вершины C на сторону AB, пересекаются в одной точке.
Разобрать решение
AN и BM — также высоты треугольника ABC. Пусть H — их точка пересечения. Точки M, C, N, H лежат на окружности с диаметром CH. Пусть P — её центр.
Поскольку высоты треугольника пересекаются в одной точке, то P лежит на высоте треугольника ABC.
Угол C не зависит от положения диаметра AB, так как
C = .
Поэтому любому указанному в условии положению
диаметраABсоответствует одна и та же окружность с центромP.
Следовательно, высотыAA1всех таких треугольниковABCпроходят
через точкуP.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.