Докажите равнобедренность треугольника при равных биссектрисах

Первый способ.

Пусть $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — углы при вершинах соответственно A, B и C треугольника ABC; BM и CN — биссектрисы треугольника. Предположим, что $\beta$ < $\gamma$.

Отложим от луча CN в полуплоскости, содержащей точку M, угол NCM₁, равный ${\frac{\beta}{2}}$, где M₁ — точка на биссектрисе BM. Поскольку ${\frac{\beta}{2}}$ < ${\frac{\gamma}{2}}$, то точка M₁ лежит между точками B и M.

Отрезок NM₁ виден из точек B и C под одним углом, равным

${\frac{\beta}{2}}$. Следовательно, точки B, N, M₁ и C лежат на одной окружности, а BM₁ и CN — хорды этой окружности. Поскольку

$\displaystyle \angle$BCM₁ = $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ < $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ = 90^o,

$\displaystyle \angle$BCM₁ = $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ > $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle \angle$NBC,

то хордаBM₁видна из точкиCпод острым углом, равным${\frac{\gamma}{2}}$+${\frac{\beta}{2}}$, а хордаCNвидна из точкиBпод острым углом, равным$\beta$, причём${\frac{\beta}{2}}$+${\frac{\gamma}{2}}$>$\beta$. Следовательно,

BM > BM₁ > CN.

Таким образом, если углы треугольника не равны, то большему углу соответствует меньшая биссектриса. Следовательно, если биссектрисы равны, то равны и соответствующие им углы треугольника.

Второй способ.

Пусть a, b и c — стороны треугольника, $\beta$ и $\gamma$ — углы, противолежащие сторонам b и c соответственно, l_b и l_c — биссектрисы треугольника, проведённые из вершин этих углов. По известной формуле для площади треугольника имеем:

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ab sin$\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$bl_csin$\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$al_csin$\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$,

откуда находим, что

l_c = $\displaystyle {\frac{2ab \cos \frac{\gamma}{2}}{a + b}}$.

Ааналогично

l_b = $\displaystyle {\frac{2ac \cos \frac{\beta}{2}}{b+c}}$.

Докажем, что еслиc>b, тоl_c<l_b. В самом деле,

c > b  $\displaystyle \Rightarrow$  $\displaystyle \gamma$ > $\displaystyle \beta$  $\displaystyle \Rightarrow$  $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ > $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$  $\displaystyle \Rightarrow$  cos$\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ < cos$\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$;

c > b  $\displaystyle \Rightarrow$  a + c > a + b  $\displaystyle \Rightarrow$  $\displaystyle {\frac{1}{a+c}}$ < $\displaystyle {\frac{1}{a+b}}$  $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$  $\displaystyle {\frac{a}{a+c}}$ < $\displaystyle {\frac{a}{a+b}}$  $\displaystyle \Rightarrow$  $\displaystyle {\frac{ab}{a+c}}$ < $\displaystyle {\frac{ac}{a+b}}$  $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$  l_c = $\displaystyle {\frac{2ab \cos \frac{\gamma}{2}}{a + b}}$ < $\displaystyle {\frac{2ac \cos \frac{\beta}{2}}{a + c}}$ = l_b.

Таким образом, если стороны треугольника не равны, то к большей стороне проведена меньшая биссектриса. Следовательно, если биссектрисы равны, то равны и соответствующие им стороны треугольника.

Третий способ.

Выразим обе биссектрисы через стороны треугольника и приравняем полученные выражения.