Олимпиадная задача: равносторонний треугольник и сумма расстояний

Пусть точка P находится внутри равностороннего треугольника ABC. Обозначим за a сторону треугольника и за S его площадь, также обозначим за h₁, h₂, h₃расстояния от точки P до сторон AB, BC, CA соответственно. Приравняем площадь треугольника ABC к сумме площадей треугольников APB, BPC, CPA. Запишем: S = ABh₁/2+BCh₂/2+CA*h₃/2 = a(h₁+h₂+h₃)/2. Отсюда h₁+h₂+h₃=2S/a. Таким образом, сумма расстояний от любой точки внутри равностороннего треугольника до его сторон равна 2S/a независимо от положения точки.