Олимпиадная задача по планиметрии: равные периметры в четырёхугольнике
Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Докажите, что если равны периметры треугольников ABC, BCD, CDA, DAB, то ABCD - прямоугольник.
Разобрать решение
Обозначим стороны и диагонали четырехугольника x1, x2, x3, x4, y1, y2, как на рисунке. Из условия следуют равенства x1+x2+y1=x3+x4+y1, x2+x3+y2=x1+x4+y2. Складывая их друг с другом и вычитая одно из другого, получаем: x2=x4, x1=x3. Следовательно, ABCD - параллелограмм. Теперь из равенства x1+x2+y1=x2+x3+y2=x2+x1+y2следует, что y1=y2, то есть ABCD - прямоугольник.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.