Олимпиадная задача по планиметрии: площадь четырёхугольника в правильн

A₁ и A_2n+1 – противоположные вершины многоугольника. Следовательно, диагональ A₁A_2n+1 проходит через центр O (см. рисунок).

В силу равенства дуг A₁A_n и A_n+2A_2n+1 описанной окружности  A₁A_2n+1 || A_nA_n+2.  Значит, площади треугольников A₁A_nA_n+2 и OA_nA_{n +2} равны. Отсюда  S_A1A_nA_n+1A_n+2 = S_OAnA_n+1A_n+2 = ^S/_2n .