Олимпиадная задача про числа и инварианты для 6–8 классов
На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 19, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них написать число a + b – 1.
Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?
Показать ответ
Разобрать решение
Для любого набора из n чисел на доске рассмотрим следующую величину X: сумму всех чисел, уменьшенную на n. Нетрудно проверить, что это – инвариант. В наборе из условия X = (1 + 2 + ... + 20) – 20 = 190. После 19 операций, когда на доске останется одно число p, X = p – 1. Значит, p = 191.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.