Олимпиадная задача: решить 1/a + 1/b + 1/c = 1 в целых числах

  Если  a = 1,  то  c = – b.

  Пусть ни одно из чисел не равно 1. Тогда каждое из слагаемых не больше ½. Отсюда сразу следует, что ни одно из чисел не может быть отрицательным. Поэтому можно считать, что  1 < a ≤ b ≤ c  (остальные решения получатся перестановкой).

  Если  a > 3,  то  ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c < ¹/₃ + ¹/₃ + ¹/₃ = 1.

  Поэтому возможны только два случая:

  1)  a = 3  (и тогда, очевидно,  b = c = 3);

  2)  a = 2.  В этом случае  ¹/_b + ¹/_c = ½.  При этом  b ≤ 4.

  Поэтому либо  b = 4  (и тогда  c = 4),  либо  b = 3  (и тогда  c = 6).