Задание по олимпиадной математике: вычитание суммы цифр сто раз
Из трёхзначного числа вычли сумму его цифр. С полученным числом проделали то же самое и так далее, 100 раз. Докажите, что в результате получится нуль.
Разобрать решение
После первого вычитания получается число, кратное 9. Поэтому на каждом следующем шаге (пока не получился 0) вычитается не меньше 9. Следовательно, для чисел, меньших 99·9 + 9 = 900 всё доказано. Для чисел от 900 до 999 чисел заметим, что среди 33 кратных 9 трёхзначных чисел, начинающихся с цифр 6, 7, 8, только девять имеют сумму цифр 9, а о остальные 24 имеют сумму цифр 18. Таким образом, не менее 12 раз вычиталось не 9, а 18.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.