Олимпиадная задача: натуральное число и сумма цифр по модулю 3 и 9

  Рассмотрим число  a₁a₂...a_n = 10^n–1a₁ + 10^n–2a₂ + ... + 10¹a_n–1 + a_n.  Ясно, что  10 ≡ 1 (mod 9).  Поэтому 10^k ≡ 1 (mod 9).  для любого натурального k. Таким образом,  10^n–1a₁ + 10^n–2a₂ + ... + 10a_n–1 + a_n ≡ a₁ + a₂ + ... + a_n–1 + a_n (mod 9).

 Рассуждения для числа 3 совершенно аналогичны.