Задание олимпиады: делимость суммы делителей при условии n + 1 | 24
Пусть натуральное число n таково, что n + 1 делится на 24. Докажите, что сумма всех натуральных делителей n делится на 24.
Разобрать решение
Так как n + 1 делится на 3 и 8, то n при делении на 3 даёт остаток 2, а при делении на 8 – остаток 7.
Разобьём делители на пары вида {n, n/d}. Заметим, что если d даёт остаток 1 при делении на 3, то n/d даёт остаток 2 и наоборот (отсюда, в частности, следует, что пара не может состоять из одинаковых чисел). Поэтому сумма делителей в каждой такой паре кратна 3.
Аналогично, сумма делителей в каждой такой паре кратна 8.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.