Олимпиадные задачи по математике

Докажите, что  <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i>₁<i>a</i>₂...<i>a_n</i></span> = <i>a_n</i> – <i>a</i>_<i>n</i>–1 + ... + (–1)^<i>n</i> (mod 11).

Пусть <i>A</i> – сумма цифр числа 4444⁴⁴⁴⁴, а <i>B</i> – сумма цифр числа <i>A</i>. Найдите сумму цифр числа <i>B</i>.

Из трёхзначного числа вычли сумму его цифр. С полученным числом проделали то же самое и так далее, 100 раз. Докажите, что в результате получится нуль.

Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?

Докажите, что произведение последней цифры числа 2^<i>n</i> и суммы всех цифр этого числа, кроме последней, делится на 3.

Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.

Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них – 97?

К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

Докажите, что если записать в обратном порядке цифрылюбого натурального числа, то разность исходного и нового числа будет делиться на 9.

У числа 2¹⁰⁰ нашли сумму цифр, у результата снова нашли сумму цифр и т.д. В конце концов получилось однозначное число. Найдите его.

Можно ли записать точный квадрат, использовав по 10 раз цифры

  а) 2, 3, 6;

  б) 1, 2, 3?

Докажите, что любое натуральное число сравнимо с суммой своих цифр по модулю

  а) 3;   б) 9.

Найдите 100-значное число без нулевых цифр, которое делится на сумму своих цифр.

Предпоследняя цифра квадрата натурального числа – нечётная. Докажите, что его последняя цифра – 6.

Последняя цифра квадрата натурального числа равна 6. Докажите, что его предпоследняя цифра нечётна.

Сформулируйте и докажите признаки делимости на 2^<i>n</i> и 5^<i>n</i>.

Докажите, что  <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i>₁<i>a</i>₂...<i>a</i>_<i>n</i>–1<i>a_n</i></span>  ≡  <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i>_<i>n</i>–1<i>a_n</i></span> (mod 4).

Докажите, что любое натуральное число сравнимо со своей последней цифрой по модулю

  а) 10;  б) 2;  в) 5.

Последовательность <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ... натуральных чисел такова, что  <i>a</i>_<i>n</i>+2 = <i>a</i>_<i>n</i>+1<i>a_n</i> + 1 при всех <i>n</i>.

  а)  <i>a</i>₁ = <i>a</i>₂ = 1.  Докажите, что ни один из членов последовательности не делится на 4.

  б) Докажите, что  <i>a_n</i> – 22  – составное число при любом <i>n</i> > 10.

Пусть натуральное число <i>n</i> таково, что  <i>n</i> + 1  делится на 24. Докажите, что сумма всех натуральных делителей <i>n</i> делится на 24.

Докажите, что  11^<i>n</i>+2 + 12^2<i>n</i>+1  делится на 133 при любом натуральном <i>n</i>.

Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что  <i>n</i>² + <i>n</i> + 1  делится на 1955?

Обозначим через <i>k</i> произведение нескольких (больше одного) первых простых чисел.

Докажите, что число   а)  <i>k</i> – 1;   б)  <i>k</i> + 1  не является точным квадратом.

Сколько существует натуральных чисел<i>n</i>, меньших 10000, для которых  2^<i>n</i>–<i>n</i>²  делится на 7?

Какое число нужно добавить к числу  (<i>n</i>² – 1)¹⁰⁰⁰(<i>n</i>² + 1)¹⁰⁰¹,  чтобы результат делился на<i>n</i>?