Задача № 130628
Докажите, что a1a2...an = an – an–1 + ... + (–1)n (mod 11).
Олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 130627
Пусть A – сумма цифр числа 44444444, а B – сумма цифр числа A. Найдите сумму цифр числа B.
Задача № 130626
Из трёхзначного числа вычли сумму его цифр. С полученным числом проделали то же самое и так далее, 100 раз. Докажите, что в результате получится нуль.
Задача № 130625
Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?
Задача № 130624
Докажите, что произведение последней цифры числа 2n и суммы всех цифр этого числа, кроме последней, делится на 3.
Задача № 130623
Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.
Задача № 130622
Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них – 97?
Задача № 130621
К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.
Задача № 130620
Докажите, что если записать в обратном порядке цифрылюбого натурального числа, то разность исходного и нового числа будет делиться на 9.
Задача № 130619
У числа 2100 нашли сумму цифр, у результата снова нашли сумму цифр и т.д. В конце концов получилось однозначное число. Найдите его.
Задача № 130618
Можно ли записать точный квадрат, использовав по 10 раз цифры а) 2, 3, 6; б) 1, 2, 3?
Задача № 130617
Докажите, что любое натуральное число сравнимо с суммой своих цифр по модулю а) 3; б) 9.
Задача № 130616
Найдите 100-значное число без нулевых цифр, которое делится на сумму своих цифр.
Задача № 130614
Предпоследняя цифра квадрата натурального числа – нечётная. Докажите, что его последняя цифра – 6.
Задача № 130613
Последняя цифра квадрата натурального числа равна 6. Докажите, что его предпоследняя цифра нечётна.
Задача № 130612
Сформулируйте и докажите признаки делимости на 2n и 5n.
Задача № 130611
Докажите, что a1a2...an–1an ≡ an–1an (mod 4).
Задача № 130610
Докажите, что любое натуральное число сравнимо со своей последней цифрой по модулю а) 10; б) 2; в) 5.
Задача № 130609
Последовательность a1, a2, a3, ... натуральных чисел такова, что an+2 = an+1an + 1 при всех n. а) a1 = a2 = 1. Докажите, что ни один из членов последовательности не делится на 4. б) Докажите, что an – 22 – составное число при любом n > 10.
Задача № 130608
Пусть натуральное число n таково, что n + 1 делится на 24. Докажите, что сумма всех натуральных делителей n делится на 24.
Задача № 130607
Докажите, что 11n+2 + 122n+1 делится на 133 при любом натуральном n.
Задача № 130606
Существует ли такое натуральное n, что n² + n + 1 делится на 1955?
Задача № 130605
Обозначим через k произведение нескольких (больше одного) первых простых чисел. Докажите, что число а) k – 1; б) k + 1 не является точным квадратом.
Задача № 130604
Сколько существует натуральных чиселn, меньших 10000, для которых 2n–n² делится на 7?
Задача № 130602
Какое число нужно добавить к числу (n² – 1)1000(n² + 1)1001, чтобы результат делился наn?
23001–23025 из 23247