Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
В треугольнике угол равен . Точка – центр вписанной окружности, – середина . Прямая, проходящая через и параллельная , пересекает окружность с диаметром в точках и (точки и лежат в одной полуплоскости относительно прямой ). Прямая, проходящая через и перпендикулярная , пересекает прямые и в точках и . Найдите угол .
Выпуклый четырехугольник таков, что . Докажите, что середина диагонали лежит на общей внутренней касательной к окружностям, вписанным в треугольники и .
В шестиугольнике никакие четыре вершины не лежат на одной окружности, а диагонали , и пересекаются в одной точке. Обозначим через радикальную ось окружностей и (мы считаем, что точки и совпадают). Докажите, что прямые , , пересекаются в одной точке.
Пусть AK и BL – высоты остроугольного треугольника ABC, а Ω – вневписанная окружность ABC, касающаяся стороны AB. Общие внутренние касательные к описанной окружности ω треугольника CKL и окружности Ω пересекают прямую AB в точках P и Q. Докажите, что AP = BQ.
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. Окружность ω касается отрезка MA в точке P, отрезка MD в точке Q и описанной окружности Ω четырёхугольника ABCD в точке X. Докажите, что X лежит на радикальной оси описанных окружностей ωQ и ωP треугольников ACQ и BDP.
В треугольнике ABC прямая m касается вписанной окружности ω. Прямые, проходящие через центр I окружности ω и перпендикулярные AI, BI, CI, пересекают прямую m в точках A', B', C' соответственно. Докажите, что прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.
В треугольнике ABC серединный перпендикуляр к BC пересекает прямые AB и AC в точках AB и AC соответственно. Обозначим через Oa центр описанной окружности треугольника AABAC. Аналогично определим Ob и Oc. Докажите, что описанная окружность треугольника OaObOc касается описанной окружности исходного треугольника.