Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Пусть – центр описанной окружности остроугольного треугольника . На стороне отметили точку . Окружности, описанные около треугольников и , повторно пересекают отрезки и в точках и соответственно. Докажите, что из отрезков , и можно сложить треугольник.
Даны две равные окружности и с центрами и . На отрезке взяты точки и так, что . Точки и лежат на , и прямая проходит через . Точки и лежат на , и прямая проходит через . Докажите, что существует окружность, касающаяся прямых , , и .
Из центра описанной окружности Ω треугольника опустили перпендикуляры и на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине . Докажите, что прямая делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон и .
Точка — центр описанной окружности треугольника . Серединный перпендикуляр к пересекает и в точках и . Прямая пересекает прямую в точке , — середина . Описанная окружность треугольника пересекает описанную окружность треугольника в точке , отличной от . Докажите, что прямая касается описанной окружности треугольника .
В остроугольном треугольнике (
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть ωA, ωB, ωC, ωD – описанные окружности треугольников BCD, ACD, ABD, ABC соответственно. Обозначим через XA произведение степени точки A относительно ωA на площадь треугольника BCD. Аналогично определим XB, XC, XD. Докажите, что XA + XB + XC + XD = 0.
Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны BA, BC в точках A0, C0 соответственно. Докажите, что периметр треугольника A0OC0 (O – центр описанной окружности треугольника ABC) равен AC.
Пусть H и O – ортоцентр и центр описанной окружности треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AOH, пересекает серединный перпендикуляр к BC в точке A1. Аналогично определяются точки B1 и C1. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Дан фиксированный треугольник ABC. Пусть D – произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в D, проходящая через A, пересекает вторично прямые AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Аналогично определяются точки Ba, Bc, Ca и Cb. Точку D назовём хорошей, если точки Ab, Ac, Ba, Bc, Ca и Cb лежат на одной окружности. Сколько может оказаться точек, хороших для данного треугольника ABC?