Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Пусть – центр описанной окружности остроугольного треугольника . На стороне отметили точку . Окружности, описанные около треугольников и , повторно пересекают отрезки и в точках и соответственно. Докажите, что из отрезков , и можно сложить треугольник.
Саша записывает числа 1, 2, 3, 4, 5 в каком-нибудь порядке, расставляет знаки арифметических операций «», «», «» и скобки и смотрит на результат полученного выражения. Например, он может получить число 8 с помощью выражения . Может ли он получить число 123? Формировать числа из нескольких других нельзя (например, из чисел 1 и 2 нельзя составить число 12).
Из центра описанной окружности Ω треугольника опустили перпендикуляры и на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине . Докажите, что прямая делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон и .
Дана окружность ω с центром и две её различные точки и . Для любой другой точки на ω отметим середины и отрезков и и построим точку пересечения высот треугольника . Докажите, что положение точки не зависит от выбора точки .
В остроугольном треугольнике (
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки H и O – его ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны AB и BC в точках A1 и C1. Докажите, что OB – биссектриса угла A1OC1.
Через вершину B правильного треугольника ABC проведена прямая l. Окружность ωa с центром Ia касается стороны BC в точке A1 и прямых l и AC. Окружность ωc с центром Ic касается стороны BA в точке C1 и прямых l и AC. Докажите, что ортоцентр треугольника A1BC1 лежит на прямой IaIc.