Задача № 166930
Биссектрисы треугольника пересекаются в точке . Серединный перпендикуляр к отрезку пересекает прямые , в точках , . Докажите, что описанные окружности треугольников и касаются.
Зайцева Ю. — олимпиадные задачи по математике для 9 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 164780
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC, касается катетов AC и BC в точках B1 и A1, а гипотенузы – в точке C1. Прямые C1A1 и C1B1 пересекают CA и CB соответственно в точках B0 и A0. Докажите, что AB0 = BA0.
Задача № 164398
Через вершину B правильного треугольника ABC проведена прямая l. Окружность ωa с центром Ia касается стороны BC в точке A1 и прямых l и AC. Окружность ωc с центром Ic касается стороны BA в точке C1 и прямых l и AC. Докажите, что ортоцентр треугольника A1BC1 лежит на прямой IaIc.
Задача № 164337
Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC зафиксированы точки C1 и A1 соответственно. Найдите на описанной окружности треугольника ABC такую точку P, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников APC1 и CPA1 минимально.