Задача № 216727
Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком. Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем .
Произволов В.В. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3-4 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216397
100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.
Задача № 216257
Найдите все такие натуральные числа a и b, что (a + b²)(b + a²) является целой степенью двойки.
Задача № 216053
Квадрат ABCD разрезан на одинаковые прямоугольники с целыми длинами сторон. Фигура F является объединением всех прямоугольников, имеющих общие точки с диагональю AC. Докажите, что AC делит площадь фигуры F пополам.
Задача № 211915
Угол B при вершине равнобедренного треугольника ABC равен 120°. Из вершины B выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60° друг к другу, которые, отразившись от основания AC в точках P и Q, попали на боковые стороны в точки M и N (см. рис.). Докажите, что площадь треугольника PBQ равна сумме площадей треугольников AMP и CNQ.
Задача № 211875
При каких натуральных n > 1 существуют такие натуральные b1, ..., bn (не все из которых равны), что при всех натуральных k число (b1 + k)(b2 + k)...(bn + k) является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)
Задача № 208681
Точки P1, P2, ..., Pn–1 делят сторону BC равностороннего треугольника ABC на n равных частей: BP1 = P1P2 = ... = Pn–lC. Точка M выбрана на стороне AC так, что AM = BP1. Докажите, что ∠AP1M+ ∠AP2M+ ... + ∠APn–1M= 30°, если а) n= 3; б)n– произвольное натуральное число.
Задача № 208599
Из точки O, лежащей внутри выпуклого n-угольника A1A2...An, проведены отрезки ко всем вершинам: OA1, OA2, ..., OAn . Оказалось, что все углы между этими отрезками и прилегающими к ним сторонами n-угольника – острые, причём ∠OA1An ≤ ∠OA1A2, ∠OA2A1 ≤ ∠OA2A3, ..., ∠OAn–1An–2 ≤ ∠OAn–1An, ∠OAnAn–1 ≤ ∠OAnA1. Докажите, что O – центр окружности, вписанной в n-угольник.
Задача № 208153
Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками AB и AD и дугой BD некоторой окружности (рис.1). Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам: а) периметр этой фигуры; б) её площадь.
Задача № 208150
В прямоугольном треугольнике ABC точка O – середина гипотенузы AC . На отрезке AB взята точка M , а на отрезке BC – точка N , причём угол MON – прямой. Докажите, что AM2+CN2 = MN2.
Задача № 208113
Прямая отсекает от правильного 10-угольника ABCDEFGHIJ со стороной 1 треугольник PAQ, в котором PA + AQ = 1. Найдите сумму углов, под которыми виден отрезок PQ из вершин B, C, D, E, F, G, H, I, J.
Задача № 208020
Квадрат ABCD и окружность пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника: AEF, BGH, CIJ, DKL (EF, GH, IJ, KL — дуги окружности). Докажите, что а) сумма длин дуг EF и IJ равна сумме длин дуг GH и KL; б) сумма периметров криволинейных треугольников AEF и CIJ равна сумме периметров криволинейных треугольников BGH и DKL.
Задача № 207863
Числа x, y, z удовлетворяют равенству x + y + z – 2(xy + yz + xz) + 4xyz = ½. Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.
Задача № 207856
На отрезке [0, 1] отмечено несколько различных точек. При этом каждая отмеченная точка расположена либо ровно посередине между двумя другими отмеченными точками (не обязательно соседними с ней), либо ровно посередине между отмеченной точкой и концом отрезка. Докажите, что все отмеченные точки рациональны.
Задача № 207842
Можно ли разбить правильный тетраэдр с ребром 1 на правильные тетраэдры и октаэдры, длины ребер каждого из которых меньше 1/100?
Задача № 207829
В выпуклом шестиугольнике AC1BA1CB1 AB1 = AC1, BC1 = BA1, CA1 = CB1 и ∠A + ∠B + ∠C = ∠A1 + ∠B1 + ∠C1. Докажите, что площадь треугольника ABC равна половине площади шестиугольника.
Задача № 207798
По кругу расставлены 10 железных гирек. Между каждыми соседними гирьками находится бронзовый шарик. Масса каждого шарика равна разности масс соседних с ним гирек. Докажите, что шарики можно разложить на две чаши весов так, чтобы весы уравновесились.
Задача № 207764
Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый). а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две равновеликие части? б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)
Задача № 203847
Квадрат разбили на 100 прямоугольников девятью вертикальными и девятью горизонтальными прямыми (параллельными его сторонам). Среди этих прямоугольников оказалось ровно 9 квадратов. Докажите, что два из этих квадратов имеют одинаковый размер.
Задача № 198543
n красных и n синих точек, строго чередуясь, разделили окружность на 2n дуг так, что каждые две смежные из них имеют различную длину. При этом длины каждой из этих дуг равны одному из трёх чисел: a, b или c. Докажите, что n-угольник с красными вершинами и n-угольник с синими вершинами имеют равные периметры и равные площади.
Задача № 198441
2n радиусов разделили круг на 2n равных секторов: n синих и n красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до n. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдётся полукруг, в котором записаны все числа от 1 до n.
Задача № 198418
В таблицу записано девять чисел: Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой: a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 = c1 + c2 + c3 = a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3. Докажите, что сумма произведений строк таблицы равна сумме произведений её столбцов: a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3=a1a2a3+b1b2b3+c1c2c3.
Задача № 198309
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) угол A равен α. На стороне AB взята точка D так, что AD = AB/n. Найдите сумму n – 1 углов, под которыми виден отрезок AD из точек, делящих сторону BC на n равных частей: а) при n = 3; б) при произвольном n.
Задача № 198301
В равностороннем треугольнике ABC на стороне AB взята точка D так, что AD = AB/n. Докажите,что сумма n – 1 углов, под которыми виден отрезок AD из точек, делящих сторону BC на n равных частей, равна 30°: а) при n = 3; б) при произвольном n.
Задача № 198279
а) Существуют ли два равных семиугольника, все вершины которых совпадают, но никакие стороны не совпадают? б) А три таких семиугольника?
1–25 из 41