Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
В таблицу записано девять чисел: Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой: a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 = c1 + c2 + c3 = a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3. Докажите, что сумма произведений строк таблицы равна сумме произведений её столбцов: a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3=a1a2a3+b1b2b3+c1c2c3.
Можно ли подобрать два многочлена P(x) и Q(x) с целыми коэффициентами так, что P – Q, P и P + Q – квадраты некоторых многочленов (причём Q не получается умножением P на число)?
Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Построим треугольник A1B1C1, стороны которого параллельны отрезкам PA, PB, PC (B1C1 || PA, C1A1 || PB, A1B1 || PC). Через точки A1, B1, C1 проведены прямые, параллельные соответственно BC, CA и AB. Докажите, что эти прямые пересекаются в точке, лежащей на описанной окружности треугольника A1B1C1.
Правильный шестиугольник разрезан на N равновеликих параллелограммов. Доказать, что N делится на 3.
Дано числоx, большее 1. Обязательно ли имеет место равенство [] = []?
Из произвольной точки M внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры MK1, MK2, MK3 на его стороны. Докажите, что + + = . , гдеO— центр треугольника.
Точка внутри правильного 2n-угольника соединена с вершинами. Возникшие 2nтреугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных а) для n= 4, б) для n= 3, в) для произвольногоn.