Задача № 216914
Дан квадрат. Найдите геометрическое место середин гипотенуз прямоугольных треугольников, вершины которых лежат на попарно различных сторонах квадрата и не совпадают с его вершинами.
Олимпиадные задачи из источника «Олимпиады и турниры» - сложность 3-4 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216913
Пусть M и I – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника ABC, а r – радиус вписанной в него окружности. Докажите, что MI = r/3 тогда и только тогда, когда прямая MI перпендикулярна одной из сторон треугольника.
Задача № 216912
Точку внутри треугольника назовём хорошей, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.
Задача № 216910
Пусть AH – высота остроугольного треугольника ABC, а точки K и L – проекции H на стороны AB и AC. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую KL в точках P и Q, а прямую AH – в точках A и T. Докажите, что точка H является центром вписанной окружности треугольника PQT.
Задача № 216909
В выпуклом пятиугольнике P провели все диагонали, в результате чего он оказался разбитым на десять треугольников и один пятиугольник P'. Из суммы площадей треугольников, прилегающих к сторонам P, вычли площадь P'; получилось число N. Совершив те же операции с пятиугольником P', получили число N'. Докажите, что N > N'.
Задача № 216906
При каких n > 3 правильный n-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?
Задача № 216905
В треугольнике ABC провели биссектрису CL. В треугольники CAL и CBL вписали окружности, которые касаются прямой AB в точках M и N соответственно. Затем все, кроме точек A, L, M и N, стерли. С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник.
Задача № 216904
Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Точки A2, B2, C2 симметричны точкам A1, B1, C1 относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA2, BB2, CC2 пересекаются в одной точке.
Задача № 216902
Квадрат разрезан на несколько (больше одного) выпуклых многоугольников с попарно различным числом сторон. Докажите, что среди них есть треугольник.
Задача № 216901
Высоты AA1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка Q симметрична середине стороны AC относительно AA1. Точка P – середина отрезка A1C1. Докажите, что ∠QPH = 90°.
Задача № 216900
Окружность Ω описана около треугольника ABC. На продолжении стороны AB за точку B взяли такую точку B1, что AB1 = AC. Биссектриса угла A пересекает Ω вторично в точке W. Докажите, что ортоцентр треугольника AWB1 лежит на Ω.
Задача № 216898
Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором ∠B = 120°. На продолжениях сторон AB и CB за точку B взяли точки P и Q соответственно так, что лучи AQ и CP пересекаются под прямым углом. Докажите, что ∠PQB = 2∠PCQ.
Задача № 216897
Квадратный лист бумаги согнули по прямой так, что одна из вершин квадрата оказалась на несмежной стороне. При этом образовалось три треугольника. В эти треугольники вписали окружности (см. рис.). Докажите, что радиус одной из этих окружностей равен сумме радиусов двух других.
Задача № 216891
В футбольном чемпионате участвуют 18 команд. На сегодняшний день проведено 8 туров (в каждом туре все команды разбиваются на пары и в каждой паре команды играют друг с другом, причём пары не повторяются). Верно ли, что найдутся три команды, которые не сыграли ни одного матча между собой?
Задача № 216890
В треугольнике ABC: ∠B = 22,5°, ∠C = 45°. Докажите, что высота АН, медиана BM и биссектриса CL пересекаются в одной точке.
Задача № 216887
В кубе с ребром длины 1 провели два сечения в виде правильных шестиугольников. Найдите длину отрезка, по которому эти сечения пересекаются.
Задача № 216873
Даны n + 1 попарно различных натуральных чисел, меньших 2n (n > 1). Докажите, что среди них найдутся три таких числа, что сумма двух из них равна третьему.
Задача № 216872
Дана равнобокая трапеция ABCD (AD || BC). На дуге AD (не содержащей точек B и C) описанной окружности этой трапеции произвольно выбрана точка M. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из вершин A и D на отрезки BM и CM, лежат на одной окружности.
Задача № 216866
Ребёнок поставил четыре одинаковых кубика так, что буквы на сторонах кубиков, обращённых к нему, образуют его имя (см. рисунок). Нарисуйте, как расположены остальные буквы на данной развёртке кубика и определите, как зовут ребёнка.
Задача № 216840
Клетчатая полоска 1×1000000 разбита на 100 сегментов. В каждой клетке записано целое число, причём в клетках, лежащих в одном сегменте, числа совпадают. В каждую клетку поставили по фишке. Затем сделали такую операцию: все фишки одновременно передвинули, каждую – на то количество клеток вправо, которое указано в её клетке (если число отрицательно, то фишка двигается влево); при этом оказалось, что в каждую клетку снова попало по фишке. Эту операцию повторяют много раз. Для каждой фишки первого сегмента подсчитали, через сколько операций она впервые снова окажется в этом сегменте. Докажите, что...
Задача № 216839
а) Внутри сферы находится некоторая точка A. Через A провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках. Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр A не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из A в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.
Задача № 216837
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки C1 и A1, отличные от вершин. Пусть K – середина A1C1, а I – центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Оказалось, что четырёхугольник A1BC1I вписанный. Докажите, что угол AKC тупой.
Задача № 216835
Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 1001 орех по трём коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число N от 1 до 1001. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую четвёртую коробочку и предъявить Чичикову одну или несколько коробочек, где в сумме ровно N орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв?
Задача № 216834
Дана бесконечная последовательность чисел a1, a2, a3, ... Известно, что для любого номера k можно указать такое натуральное число t, что ak = ak+t = ak+2t = ... Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное T, что ak = ak+T при любом натуральном k?
Задача № 216833
Петя и Вася играют в следующую игру. Петя загадывает натуральное число x с суммой цифр 2012. За один ход Вася выбирает любое натуральное число a и узнаёт у Пети сумму цифр числа |x – a|. Какое минимальное число ходов необходимо сделать Васе, чтобы гарантированно определить x?
26–50 из 3806