Задача № 167293
Существует ли описанный 2021-угольник, все вершины и центр вписанной окружности которого имеют целочисленные координаты?
Олимпиадные задачи из источника «42 турнир (2020/2021 год)» - сложность 2-5 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 167292
Полиция задержала 50 человек, из которых 35 – преступники, которые говорят, что захотят, а 15 – свидетели, которые всегда говорят правду. Все задержанные знают, кто преступники. Какое наименьшее число человек достаточно выбрать, чтобы спросив потом у каждого, кто именно преступники, по ответам вычислить хотя бы одного преступника?
Задача № 167291
Возрастающая последовательность натуральных чисел такова, что при каждом целом число равно наименьшему натуральному числу, большему чем и не делящемуся ни на одно из чисел . Докажите, что в такой последовательности лишь конечное количество составных чисел.
Задача № 167290
Точка – центр вписанной окружности треугольника , а – точка касания этой окружности со стороной . Пусть и – ортоцентры треугольников и . Докажите, что точки , , лежат на одной прямой.
Задача № 167289
Петя и Вася по очереди красят рёбра -угольной пирамиды: Петя – в красный цвет, а Вася – в зелёный (ребро нельзя красить дважды). Начинает Петя. Выигрывает Вася, если после того, как все рёбра окрашены, из любой вершины пирамиды в любую другую вершину ведёт ломаная, состоящая из зелёных рёбер. В противном случае выигрывает Петя. Кто из игроков может действовать так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл его соперник?
Задача № 167288
Каждая из функций и определена на всей числовой прямой и не является строго монотонной. Может ли быть, что и их сумма, и их разность строго монотонны на всей числовой прямой?
Задача № 166912
Дано целое . На сфере радиуса 1 требуется расположить попарно не пересекающихся дуг больших окружностей, все дуги равной длины . Докажите, что а) при любом это невозможно.
Задача № 166911
Найдите хоть одно вещественное число со свойством: для любого натурального расстояние от верхней целой части числа до ближайшего квадрата целого числа равно 2. (Верхняя целая часть числа – наименьшее целое число, не меньшее .)
Задача № 166907
Существует ли такое натуральное , что для любых вещественных чисел и найдутся вещественные числа , удовлетворяющие равенствам
Задача № 166904
В отель ночью приехали туристов. Они знают, что в отеле есть одноместные номера , , из которых на ремонте (но неизвестно какие), а остальные свободны. Туристы могут заранее договориться о своих действиях, после чего по очереди уходят заселяться: каждый проверяет номера в любом порядке, находит первый свободный номер не на ремонте и остаётся там ночевать. Но туристы не хотят беспокоить друг друга: нельзя проверять номер, куда уже кто-то заселился. Для каждого укажите наименьшее , при котором туристы гарантированно смогут заселиться, не потревожив друг друга.
Задача № 166903
В центре каждой клетки клетчатого прямоугольника расположена точечная лампочка, изначально все они погашены. За ход разрешается провести любую прямую, не задевающую лампочек, и зажечь все лампочки по какую-то одну сторону от этой прямой, если все они погашены. Каждым ходом должна зажигаться хотя бы одна лампочка. Требуется зажечь все лампочки, сделав как можно больше ходов. Какое максимальное число ходов удастся сделать, если а) – квадрат ; б) – прямоугольник ?
Задача № 166902
Путешественник прибыл на остров, где живут 50 аборигенов, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец. Все аборигены встали в круг, и каждый назвал сначала возраст своего соседа слева, а потом возраст соседа справа. Известно, что каждый рыцарь назвал оба числа верно, а каждый лжец какой-то из возрастов (по своему выбору) увеличил на 1, а другой – уменьшил на 1. Всегда ли путешественник по высказываниям аборигенов сможет определить, кто из них рыцарь, а кто лжец?
Задача № 166901
Треугольник равносторонний. На сторонах и выбрали точки и , а на продолжении стороны – точку так, что . Точка – середина . Докажите, что угол прямой.
Задача № 166900
В комнате находится несколько детей и куча из 1000 конфет. Дети по очереди подходят к куче. Каждый подошедший делит количество конфет в куче на количество детей в комнате, округляет (если получилось нецелое), забирает полученное число конфет и выходит из комнаты. При этом мальчики округляют вверх, а девочки – вниз. Докажите, что суммарное количество конфет у мальчиков, когда все выйдут из комнаты, не зависит от порядка детей в очереди.
Задача № 166899
Число составное. Докажите, что если вписать в числе сколько угодно восьмёрок между и , тоже получится составное число.
Задача № 166898
Пусть – центр описанной окружности остроугольного треугольника , точка – середина стороны . Прямая пересекает высоты и в точках и соответственно. Описанные окружности треугольников и вторично пересекаются в точке . Докажите, что лежит на прямой .
Задача № 166897
Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение при иметь более 100 корней? ( обозначает наибольшее целое число, не превосходящее .)
Задача № 166896
При каких натуральных найдутся последовательных натуральных чисел, произведение которых равно сумме (может быть, других) последовательных натуральных чисел?
Задача № 166895
а) У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1000, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что имеет место равенство). Может ли Таня за 4 взвешивания гарантированно определить, где какая гиря? (Следующее взвешивание выбирается по результатам прошедших.) б) Тот же вопрос, если у весов левая чашка на 1 г легче правой, так что весы показывают равенство, если масса на левой чашке на 1 г больше, чем на правой.
Задача № 166894
а) Выпуклый пятиугольник разбили непересекающимися диагоналями на три треугольника. Могут ли точки пересечения медиан этих треугольников лежать на одной прямой? б) Тот же вопрос для невыпуклого пятиугольника.
Задача № 166893
На клетчатой доске лежат доминошки, не касаясь даже углами. Каждая доминошка занимает две соседние (по стороне) клетки доски. Нижняя левая и правая верхняя клетки доски свободны. Всегда ли можно пройти из левой нижней клетки в правую верхнюю, делая ходы только вверх и вправо на соседние по стороне клетки и не наступая на доминошки, если доска имеет размеры а) клеток; б) клеток?
Задача № 166892
а) Можно ли разрезать квадрат на 4 равнобедренных треугольника, среди которых нет равных? б) А можно ли разрезать равносторонний треугольник на 4 равнобедренных треугольника, среди которых нет равных?
Задача № 166891
У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1001, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что имеет место равенство). Может ли Таня за 4 взвешивания гарантированно определить, где какая гиря? (Следующее взвешивание выбирается по результатам прошедших.)
Задача № 166890
В треугольнике провели высоты и , а также биссектрисы и . Известно, что углы и равны. Обязательно ли треугольник равнобедренный?
Задача № 166889
Может ли произведение каких-то 9 последовательных натуральных чисел равняться сумме (может быть, других) 9 последовательных натуральных чисел?
1–25 из 51