Задача № 216533
Найдите наименьшее натуральное значение n, при котором число n! делится на 990.
Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 10 класса - сложность 1-2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216005
В шахматном турнире участвовало 8 человек, и в итоге они набрали разное количество очков (каждый играл с каждым один раз, победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четверо последних набрали вместе. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое места?
Задача № 207858
Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из которых отметили одну сторону. Докажите, что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.
Задача № 198463
Вневписанные окружности касаются сторон AC и BC треугольника ABC в точках K и L. Докажите, что прямая, соединяющая середины KL и AB, а) делит периметр треугольника ABC пополам; б) параллельна биссектрисе угла ACB.
Задача № 198329
Пусть A', B', C', D', E', F' – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF, FA произвольного выпуклого шестиугольника ABCDEF. Известны площади треугольников ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.
Задача № 198307
Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
Задача № 198306
На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ABMN, BCKL, ACPQ. На отрезках NQ и PK построены квадраты NQZT и PKXY. Разность площадей квадратов ABMN и BCKL равна d. Найдите разность площадей квадратов NQZT и PKXY а) в случае, если угол ABC прямой, б) в общем случае.
Задача № 198284
На плоскости даны три точки A, B, C. Через точку C проведите прямую так, чтобы произведение расстояний от этой прямой до A и B было максимальным. Всегда ли такая прямая единственна?
Задача № 198200
Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы, до некоторого n включительно: 12345678910111213...(n). Существует ли такое n, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?
Задача № 198097
Сумма n чисел равна нулю, а сумма их квадратов равна единице. Докажите, что среди этих чисел найдутся два, произведение которых не больше – 1/n.
Задача № 198035
Можно ли так выбрать шар, треугольную пирамиду и плоскость, чтобы всякая плоскость, параллельная выбранной, пересекала шар и пирамиду по фигурам равной площади?
Задача № 197992
Докажите, что a²pq + b²qr + c²rp ≤ 0, если a, b, c – стороны треугольника; а p, q, r – любые числа, удовлетворяющие условию p + q + r = 0.
Задача № 197987
Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?
Задача № 197981
В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани. Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?
Задача № 197966
Решите систему уравнений: (x3 + x4 + x5)5 = 3x1, (x4 + x5 + x1)5 = 3x2, (x5 + x1 + x2)5 = 3x3, (x1 + x2 + x3)5 = 3x4, (x2 + x3 + x4)5 = 3x5.
Задача № 197936
В некотором городе разрешаются только парные обмены квартир (если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не имеют права участвовать в другом обмене). Докажите, что любой сложный обмен квартирами можно осуществить за два дня. (Предполагается, что при любых обменах каждая семья как до, так и после обмена занимает одну квартиру, и что семьи при этом сохраняются).
Задача № 197891
В треугольнике ABC проведены высота AH и биссектриса BE. Известно, что угол BEA равен 45°. Докажите, что угол EHC равен 45°.
Задача № 197886
Дан выпуклый четырёхугольник и точка M внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки M до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.
Задача № 197865
а) Привести пример такого положительного a, что {a} + {1/a} = 1. б) Может ли такое a быть рациональным числом?
Задача № 197780
Рассматривается последовательность 1, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, 1/7, ... Существует ли арифметическая прогрессия а) длины 5; б) сколь угодно большой длины, составленная из членов этой последовательности?
Задача № 197773
Доказать, что любое действительное положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, десятичная запись (каждого из) которых состоит из цифр 0 и 7.
Задача № 197767
M – множество точек на плоскости. Точка O называется "почти центром симметрии" множества M, если из M можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества O является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?
Задача № 188014
Имеются чашечные весы, любые гири и десять мешков с монетами. Все монеты во всех мешках одинаковы по внешнему виду, но в одном из мешков все монеты фальшивые и каждая весит по 15 г, а в остальных девяти мешках все монеты настоящие и каждая весит по 20 г. Как при помощиодноговзвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты?
Задача № 186086
Найдите уравнение гиперболы Енжабика в трилинейных коордитнатах.
Задача № 179456
Каждые две из 13 ЭВМ соединены своим проводом. Можно ли раскрасить каждый из этих проводов в один из 12 цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило 12 проводов разного цвета?
1–25 из 817