Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»

Стороны <i>AB, BC, CD, DA</i> пространственного четырёхугольника <i>ABCD</i> касаются некоторой сферы в точках <i>K, L, M, N</i> соответственно.

Докажите, что точки <i>K, L, M, N</i> лежат в одной плоскости.

Можно ли поверхность единичного куба оклеить четырьмя треугольниками площади 1,5?

Сколько существует пар натуральных чисел, у которых наименьшее общее кратное (НОК) равно 2000?

На сторонах <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> отметили точки <i>E, F, G, H</i> соответственно.

Докажите, что описанные круги треугольников <i>HAE, EBF, FCG</i> и <i>GDH</i> покрывают четырёхугольник <i>ABCD</i> целиком.

На доске написано несколько положительных чисел, каждое из которых равно полусумме остальных. Сколько чисел написано на доске?

На листе бумаги нарисован выпуклый многоугольник <i>M</i> периметра <i>P</i> и площади <i>S</i>. Закрасили каждый круг радиуса <i>R</i> с центром в каждой точке, лежащей внутри этого многоугольника. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Даны 10 натуральных чисел, не превышающих 91. Докажите, что отношение некоторых двух из этих чисел принадлежит отрезку  [²/₃, ³/₂].

Составьте из десяти цифр три простейших арифметических выражения, используя три из четырех арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления. (В записи выражений разрешается лишь знаки трех выбранных арифметических действий. Поясним сказанное на примере. Рассмотрим три арифметических выражения: 3 + 4 = 7, 9 - 8 = 1, 30 / 6 = 5. Этот пример не может служить решением задачи, поскольку цифра 2 пропущена, а цифра 3 повторяется дважды.)

10 журналов лежат на журнальном столе, полностью покрывая его. Докажите, что можно убрать пять из них так, что оставшиеся журналы будут покрывать не менее половины площади стола.

На плоскости даны 10 точек: несколько из них – белые, а остальные – чёрные. Некоторые точки соединены отрезками. Назовём точку особой, если более половины соединенных с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Каждым ходом выбирается одна из особых точек (если такие есть) и перекрашивается в противоположный цвет. Докажите, что через несколько ходов не останется ни одной особой точки.

В вершинах куба расставлены цифры 1, 2, ..., 8. Докажите, что есть ребро, цифры на концах которого отличаются не менее чем на 3.

2<i>n</i> конфет разложены по <i>n</i> коробкам. Девочка и мальчик по очереди берут по одной конфете, первой выбирает девочка.

Докажите, что мальчик может выбирать конфеты так, чтобы две последние конфеты оказались из одной коробки.

В классе 30 учеников. Докажите, что вероятность того, что у каких-нибудь двух учеников совпадают дни рождения, составляет больше 50%.

Из листа клетчатой бумаги размером 11×11 клеток вырезали 15 квадратиков размером 2×2.

Докажите, что можно вырезать ещё один такой квадратик.

Игровое поле представляет собой горизонтальную полоску размером 1×100 клеток. В самой левой клетке стоит фишка. Двое по очереди двигают фишку вправо, причём за один ход разрешается сдвинуть фишку вправо на расстояние от 1 до 10 клеток. Проигрывает тот, кто не может сделать ход (то есть перед его ходом фишка находится в самой правой клетке). Кто выиграет при правильной игре?

На плоскости даны пять точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Докажите, что некоторые четыре из этих точек являются вершинами выпуклого четырёхугольника.

B cтаде 101 корова. Если увести любую одну, то оставшихся можно разделить на два стада по 50 коров в каждом, так что суммарный вес коров первого стада равен суммарному весу коров другого стада. Известно, что каждая корова весит целое число килограммов. Докажите, что все коровы весят одинаково.

Замок имеет вид прямоугольника размером 7×9 клеток. Каждая клетка, кроме центральной – комната замка, а в центральной клетке находится бассейн. В каждой стене (стороне клетки), разделяющей две соседние комнаты, проделана дверь. Можно ли, не выходя из замка и не заходя в бассейн, обойти все комнаты, побывав в каждой ровно по одному разу?

В одном стакане было молоко, а в другом – столько же кофе. Из стакана молока перелили одну ложку в стакан с кофе и размешали. Затем такую же ложку смеси перелили обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: кофе в стакане с молоком или молока в стакане с кофе?

Найдите количество пятизначных чисел, в десятичной записи которых содержится хотя бы одна цифра 8.

Можно ли разбить какой-нибудь треугольник на 5 одинаковых треугольников?

Можно ли выписать в строчку 2000 чисел так, чтобы сумма любых трех последовательных чисел была отрицательной, а сумма всех чисел - положительной?

Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдутся 4 вершины A, B, C, D, обладающие следующим свойством: для каждой из четырех вершин A, B, C, D, многогранник целиком лежит по одну сторону от плоскости, проходящей через эту точку и параллельной плоскости, проходящей через три другие вершины.

Деревянный куб покрасили снаружи белой краской, каждое его ребро разделили на 5 равных частей, после чего куб распилили так, что получились маленькие кубики, у которых ребро в 5 раз меньше, чем у исходного куба. Сколько получилось маленьких кубиков, у которых окрашена хотя бы одна грань?

Даны два бикфордова шнура, каждый из которых горит ровно минуту, если его поджечь с одного конца (но сгорать может неравномерно).

Как с помощью этих шнуров отмерить 45 секунд? (Поджигать шнур можно с любого из двух концов.)