Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, равные 1 и 4. Найдите площадь трапеции.

Стороны треугольника равны 16, 10, 10. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.

Стороны треугольника равны 17, 17, 30. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.

Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей прямоугольного треугольника с катетом, равным 2, и противолежащим острым углом в 30°.

Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 3, 4, 5.

Точки <i>M</i> и <i>K</i> расположены на боковой стороне <i>AB</i>, а точки <i>NL</i> – на боковой стороне <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i>, причём  <i>MN || AD</i>.  Известно, что площади трапеций <i>MBCN</i> и <i>MADN</i> относятся как  1 : 5.  Найдите <i>MN</i> и <i>KL</i>, если  <i>BC = a,  AD = b</i>.

Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на боковых сторонах соответственно <i>AB</i> и <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i>, причём  <i>MN</i> || <i>AD</i>.  Известно, что площадь трапеции <i>MBCN</i> относится к площади трапеции <i>AMND</i> как  2 : 3.  Найдите <i>MN</i>, если  <i>BC = a,  AD = b</i>.

На сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i>, <i>CD</i> и <i>AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> расположены точки <i>M</i>, <i>N</i>, <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, причём <i>AM</i> : <i>MB</i> = 3 : 2, <i>CN</i> : <i>NB</i> = 2 : 3, <i>CK = KD</i> и <i>AL</i> : <i>LD</i> = 1 : 2. Найдите отношение площади шестиугольника <i>MBNKDL</i> к площади четырёхугольника <i>ABCD</i>.

На сторонах <i>BC, AC</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно, причём  <i>BA</i>₁ : <i>A</i>₁<i>C</i>= <i>CB</i>₁ : <i>B</i>₁<i>A</i> = <i>AC</i>₁ : <i>C</i>₁<i>B</i> = 1 : 3.  Найдите площадь треугольника, образованного пересечениями прямых <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>C...

На сторонах <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты соответственно точки <i>M</i> и <i>N</i>, причём  <i>CM</i> : <i>MB</i> = 1 : 3  и  <i>AN</i> : <i>NC</i> = 3 : 2.  Отрезки <i>AM</i> и <i>BN</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Найдите площадь четырёхугольника <i>CMKN</i>, если известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1.

В треугольнике <i>ABC</i> известны стороны <i>BC = a</i>, <i>AC = b</i>, <i>AB = c</i> и площадь <i>S</i>. Биссектрисы <i>BL</i> и <i>AK</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите площадь четырёхугольника <i>CKOL</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> известны стороны <i>BC = a</i>, <i>AC = b</i>, <i>AB = c</i> и площадь <i>S</i>. Биссектрисы <i>BN</i> и <i>CK</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите площадь треугольника <i>BOK</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> известны стороны <i>BC = a</i>, <i>AC = b</i>, <i>AB = c</i> и площадь <i>S</i>. Биссектрисы <i>BM</i> и <i>CN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите площадь треугольника <i>BOC</i>.

На сторонах <i>BC</i>, <i>AC</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно, причём <i>BA</i>₁ : <i>A</i>₁<i>C</i> = <i>CB</i>₁ : <i>B</i>₁<i>A</i> = <i>AC</i>₁ : <i>C</i>₁<i>B</i> = 2 : 3. Найдите площадь треугольника, образованного пересечениями прямых <i>AA</i>₁, <i>BB</i><sub>1</su...

Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены соответственно на сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>, причём  <i>AM</i> : <i>MB</i> = 1 : 2,  <i>AN</i> : <i>NC</i> = 3 : 2.  Прямая <i>MN</i> пересекает продолжение стороны <i>BC</i> в точке <i>F</i>. Найдите  <i>CF</i> : <i>BC</i>.

Точка <i>M</i> расположена на стороне <i>AB</i> параллелограмма <i>ABCD</i>, причём  <i>BM</i> : <i>MA</i> = 1 : 2.  Отрезки <i>DM</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Известно, что площадь параллелограмма <i>ABCD</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>BCPM</i>.

Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>, а точки <i>K</i> и <i>L</i> – на стороне <i>AB</i>, причём <i>AM</i> : <i>MN</i> : <i>NC</i> = 1 : 3 : 1 и <i><span lang="EN">AK = KL = LB</span></i>. Известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>KLNM</i>.

Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>, а точка <i>K</i> – на стороне <i>AC</i>, причём <i>BM</i> : <i>MN</i> : <i>NC</i> = 1 : 1 : 2 и <i>CK</i> : <i>AK</i> = 1 : 4. Известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>AMNK</i>.

Три окружности с центрами <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i>, касающиеся друг друга и прямой <i>l</i>, расположены так, как показано на рисунке. Пусть <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> – радиусы окружностей с центрами <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i> соответственно. Докажите, что <img align="middle" src="/storage/problem-media/116346/problem_116346_img_2.gif">.

Две окружности проходят через вершину угла и точку его биссектрисы. Докажите, что отрезки, высекаемые ими на сторонах угла, равны.

Треугольник <i>BHC</i>, где <i>H</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC</i>, достроен до параллелограмма <i>BHCD</i>. Докажите, что ∠<i>BAD</i> = ∠<i>CAH</i>.

Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ – основания высот треугольника <i>ABC</i>. Известно, что  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ = 13,  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ = 14,  <i>A</i>₁<i>C</i>₁ = 15.  Найдите площадь треугольника <i>ABC</i>.

Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 10. Найдите радиус окружности, описанной около исходного треугольника.

Точка <i>M</i> расположена на стороне <i>BC</i> параллелограмма <i>ABCD</i>, причём  <i>BM</i> : <i>MC</i> = 3 : 2.  Отрезки <i>AM</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Известно, что площадь параллелограмма равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>CMKD</i>.

На стороне <i>BC</i> и на продолжении стороны <i>AB</i> за вершину <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>M</i> и <i>K</i> соответственно, причём  <i>BM</i> : <i>MC</i> = 4 : 5  и  <i>BK</i> : <i>AB</i> = 1 : 5.  Прямая <i>KM</i> пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>N</i>. Найдите отношение  <i>CN</i> : <i>AN</i>.