Задача № 216364
Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, равные 1 и 4. Найдите площадь трапеции.
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216363
Стороны треугольника равны 16, 10, 10. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.
Задача № 216362
Стороны треугольника равны 17, 17, 30. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.
Задача № 216361
Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей прямоугольного треугольника с катетом, равным 2, и противолежащим острым углом в 30°.
Задача № 216360
Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 3, 4, 5.
Задача № 216359
Точки M и K расположены на боковой стороне AB, а точки NL – на боковой стороне CD трапеции ABCD, причём MN || AD. Известно, что площади трапеций MBCN и MADN относятся как 1 : 5. Найдите MN и KL, если BC = a, AD = b.
Задача № 216358
Точки M и N расположены на боковых сторонах соответственно AB и CD трапеции ABCD, причём MN || AD. Известно, что площадь трапеции MBCN относится к площади трапеции AMND как 2 : 3. Найдите MN, если BC = a, AD = b.
Задача № 216357
На сторонах AB, BC, CD и AD выпуклого четырёхугольника ABCD расположены точки M, N, K и L соответственно, причём AM : MB = 3 : 2, CN : NB = 2 : 3, CK = KD и AL : LD = 1 : 2. Найдите отношение площади шестиугольника MBNKDL к площади четырёхугольника ABCD.
Задача № 216356
На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC расположены точки A1, B1 и C1 соответственно, причём BA1 : A1C= CB1 : B1A = AC1 : C1B = 1 : 3. Найдите площадь треугольника, образованного пересечениями прямых AA1, BB1 и CC1, если известно, что площадь треугольника ABC равна 1.
Задача № 216355
На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N, причём CM : MB = 1 : 3 и AN : NC = 3 : 2. Отрезки AM и BN пересекаются в точке K. Найдите площадь четырёхугольника CMKN, если известно, что площадь треугольника ABC равна 1.
Задача № 216354
В треугольнике ABC известны стороны BC = a, AC = b, AB = c и площадь S. Биссектрисы BL и AK пересекаются в точке O. Найдите площадь четырёхугольника CKOL.
Задача № 216353
В треугольнике ABC известны стороны BC = a, AC = b, AB = c и площадь S. Биссектрисы BN и CK пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника BOK.
Задача № 216352
В треугольнике ABC известны стороны BC = a, AC = b, AB = c и площадь S. Биссектрисы BM и CN пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника BOC.
Задача № 216351
На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC расположены точки A1, B1 и C1 соответственно, причём BA1 : A1C = CB1 : B1A = AC1 : C1B = 2 : 3. Найдите площадь треугольника, образованного пересечениями прямых AA1, BB1 и CC1, если известно, что площадь треугольника ABC равна 1.
Задача № 216350
Точки M и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причём AM : MB = 1 : 2, AN : NC = 3 : 2. Прямая MN пересекает продолжение стороны BC в точке F. Найдите CF : BC.
Задача № 216349
Точка M расположена на стороне AB параллелограмма ABCD, причём BM : MA = 1 : 2. Отрезки DM и AC пересекаются в точке P. Известно, что площадь параллелограмма ABCD равна 1. Найдите площадь четырёхугольника BCPM.
Задача № 216348
Точки M и N расположены на стороне AC треугольника ABC, а точки K и L – на стороне AB, причём AM : MN : NC = 1 : 3 : 1 и AK = KL = LB. Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь четырёхугольника KLNM.
Задача № 216347
Точки M и N расположены на стороне BC треугольника ABC, а точка K – на стороне AC, причём BM : MN : NC = 1 : 1 : 2 и CK : AK = 1 : 4. Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь четырёхугольника AMNK.
Задача № 216346
Три окружности с центрами A, B и C, касающиеся друг друга и прямой l, расположены так, как показано на рисунке. Пусть a, b и c – радиусы окружностей с центрами A, B и C соответственно. Докажите, что .
Задача № 216345
Две окружности проходят через вершину угла и точку его биссектрисы. Докажите, что отрезки, высекаемые ими на сторонах угла, равны.
Задача № 216344
Треугольник BHC, где H – ортоцентр треугольника ABC, достроен до параллелограмма BHCD. Докажите, что ∠BAD = ∠CAH.
Задача № 216343
Точки A1, B1 и C1 – основания высот треугольника ABC. Известно, что A1B1 = 13, B1C1 = 14, A1C1 = 15. Найдите площадь треугольника ABC.
Задача № 216342
Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 10. Найдите радиус окружности, описанной около исходного треугольника.
Задача № 216341
Точка M расположена на стороне BC параллелограмма ABCD, причём BM : MC = 3 : 2. Отрезки AM и BD пересекаются в точке K. Известно, что площадь параллелограмма равна 1. Найдите площадь четырёхугольника CMKD.
Задача № 216340
На стороне BC и на продолжении стороны AB за вершину B треугольника ABC расположены точки M и K соответственно, причём BM : MC = 4 : 5 и BK : AB = 1 : 5. Прямая KM пересекает сторону AC в точке N. Найдите отношение CN : AN.
26–50 из 7538