Задача № 131081
В графе из каждой вершины выходит по три ребра. Может ли в нём быть 1990 рёбер?
Олимпиадные задачи по математике — страница 909
Найдите задачу для себя, урока или математического кружка.
Задача № 131079
Есть 20 карточек, у каждой из которых на двух сторонах написано по числу. При этом все числа от 1 до 20 написаны по два раза. Доказать, что карточки можно разложить так, чтобы все числа сверху были различны.
Задача № 131078
В графе 100 вершин, причём степень каждой из них не меньше 50. Доказать, что граф связен.
Задача № 131077
В графе каждая вершина – синяя или зелёная. При этом каждая синяя вершина связана с пятью синими и десятью зелёными, а каждая зелёная – с девятью синими и шестью зелёными. Каких вершин больше – синих или зелёных?
Задача № 131076
Могут ли степени вершин в графе быть равны: а) 8, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 2? б) 7, 7, 6, 5, 4, 2, 2, 1? в) 6, 6, 6, 5, 5, 3, 2, 2?
Задача № 131075
На клетчатом листе закрасили 25 клеток. Может ли каждая из них иметь нечётное число закрашенных соседей?
Задача № 131074
Из полного 100-вершинного графа выкинули 98 рёбер. Доказать, что он остался связным.
Задача № 131072
В некоторой стране из столицы выходит 89 дорог, из города Дальний – одна дорога, из остальных 1988 городов – по 20 дорог. Доказать, что из столицы можно проехать в Дальний.
Задача № 131070
В кружке у каждого члена имеется один друг и один враг. Доказать, что а) число членов чётно. б) кружок можно разделить на два нейтральных кружка.
Задача № 131069
Имеется 30 человек, некоторые из них знакомы. Доказать, что число человек, имеющих нечётное число знакомых, чётно.
Задача № 130956
В вершинах n-угольника стоят числа 1 и –1. На каждой стороне написано произведение чисел на её концах. Оказалось, что сумма чисел на сторонах равна нулю. Доказать, что a) n чётно; б) n делится на 4.
Задача № 130955
По кругу расставлены нули и единицы (и те и другие присутствуют). Каждое число, у которого два соседа одинаковы, заменяют на ноль, а остальные числа – на единицы, и такую операцию проделывают несколько раз. a) Могут ли все числа стать нулями, если их 13 штук? б) Могут ли все числа стать единицами, если их 14 штук?
Задача № 130954
В квадрате 25×25 стоят числа 1 и –1. Вычислили все произведения этих чисел по строкам и по столбцам. Доказать, что сумма этих произведений не равна нулю.
Задача № 130952
n рыцарей из двух враждующих стран сидят за круглым столом. Число пар соседей-друзей равно числу пар соседей-врагов. Доказать, что n делится на 4.
Задача № 130951
В таблице 25×25 расставлены целые числа так, что в каждом столбце и в каждой строчке встречаются все числа от 1 до 25. При этом таблица симметрична относительно главной диагонали. Доказать, что на главной диагонали все числа от 1 до 25 встречаются по одному разу.
Задача № 130949
По окружности стоят 239 точек двух цветов. Доказать, что найдутся две точки одного цвета, разделённые ровно двумя точками.
Задача № 130946
Доска 9×9 раскрашена в девять цветов, причём раскраска симметрична относительно главной диагонали. Доказать, что на этой диагонали все клетки раскрашены в разные цвета.
Задача № 130941
У каждого марсианина три руки. Могут ли семь марсиан взяться за руки?
Задача № 130940
В выражении 1*2*3*...*9 звёздочки заменяют на минус или плюс. a) Может ли получиться 0? б) Может ли получиться 1? в) Какие числа могут получиться?
Задача № 130937
Чётно или нечётно число 1 + 2 + 3 + ... + 1990?
Задача № 130935
Может ли кузнечик за 25 прыжков вернуться в начальную позицию, если он прыгает: a) по прямой в любую сторону на нечётное расстояние; б) по плоскости на расстояние 1 в любом из четырёх основных направлений (вверх, вниз, вправо, влево); в) по плоскости ходом коня (то есть по диагонали прямоугольника 1×2); г) по диагонали прямоугольника a×b (a и b фиксированы).
Задача № 130934
Доказать, что любая ось симметрии 45-угольника проходит через его вершину.
Задача № 130932
На клетчатой бумаге нарисован замкнутый путь (по линиям сетки). Доказать, что он имеет чётную длину (сторона клетки имеет длину 1).
Задача № 130928
Докажите, что если x + y + z ≥ xyz, то x² + y² + z² ≥ xyz.
Задача № 130927
Докажите, что три неравенства не могут быть все верны одновременно, если числаa1,a2,a3,b1,b2,b3положительны.
0–0 из 23247