Задача № 216996
Существуют ли 2013 таких различных натуральных чисел, что сумма каждых двух из них делится на их разность?
Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 11 класса - сложность 3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216891
В футбольном чемпионате участвуют 18 команд. На сегодняшний день проведено 8 туров (в каждом туре все команды разбиваются на пары и в каждой паре команды играют друг с другом, причём пары не повторяются). Верно ли, что найдутся три команды, которые не сыграли ни одного матча между собой?
Задача № 216835
Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 1001 орех по трём коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число N от 1 до 1001. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую четвёртую коробочку и предъявить Чичикову одну или несколько коробочек, где в сумме ровно N орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв?
Задача № 216834
Дана бесконечная последовательность чисел a1, a2, a3, ... Известно, что для любого номера k можно указать такое натуральное число t, что ak = ak+t = ak+2t = ... Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное T, что ak = ak+T при любом натуральном k?
Задача № 216825
Пусть C(n) – количество различных простых делителей числа n. а) Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел (a, b), что a ≠ b и C(a + b) = C(a) + C(b)? б) А если при этом дополнительно требуется, чтобы C(a + b) > 1000?
Задача № 216824
В классе 20 школьников. Было устроено несколько экскурсий, в каждой из которых участвовало хотя бы четверо школьников этого класса. Докажите, что найдётся такая экскурсия, что каждый из участвовавших в ней школьников принял участие по меньшей мере в 1/17 всех экскурсий.
Задача № 216816
Докажите, что можно на каждом ребре произвольного тетраэдра записать по неотрицательному числу так, чтобы сумма чисел на сторонах каждой грани численно равнялась её площади.
Задача № 216813
Равнобедренный треугольник с углом 120° сложен ровно из трёх слоёв бумаги. Треугольник развернули – и получился прямоугольник. Нарисуйте такой прямоугольник и покажите пунктиром линии сгиба.
Задача № 216775
Даны многочлен P(x) и такие числа a1, a2, a3, b1, b2, b3, что a1a2a3 ≠ 0. Оказалось, что P(a1x + b1) + P(a2x + b2) = P(a3x + b3) для любого действительного x. Докажите, что P(x) имеет хотя бы один действительный корень.
Задача № 216774
Дана пирамида SA1A2...An, основание которой – выпуклый многоугольник A1A2...An. Для каждого i = 1, 2, ..., n в плоскости основания построили треугольник XiAiAi+1, равный треугольнику SAiAi+1 и лежащий по ту же сторону от прямой AiAi+1, что и основание (мы полагаем An+1 = A1). Докажите, что построенные треугольники покрывают всё основание.
Задача № 216768
Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, большие 1010, что их произведение делится на любое из них, увеличенное на 2012?
Задача № 216763
Пусть a1, ..., a10 – различные натуральные числа, не меньшие 3, сумма которых равна 678. Может ли сумма остатков от деления некоторого натурального числа n на 20 чисел a1, a2, ..., a10, 2a1, 2a2,..., 2a10 равняться 2012?
Задача № 216752
Внутри выпуклого многогранника выбрана точка P и несколько прямых l1, ..., ln, проходящих через P и не лежащих в одной плоскости. Каждой грани многогранника поставим в соответствие ту из прямых l1, ..., ln, которая образует наибольший угол с плоскостью этой грани (если таких прямых несколько, выберем любую из них). Докажите, что найдётся грань, которая пересекается с соответствующей ей прямой.
Задача № 216725
Внутри круга отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что их можно разбить на пары и провести прямую через каждую пару так, чтобы все точки пересечения прямых были в круге.
Задача № 216722
Банк обслуживает миллион клиентов, список которых известен Остапу Бендеру. У каждого есть свой PIN-код из шести цифр, у разных клиентов коды разные. Остап Бендер за один ход может выбрать любого клиента, которого он еще не выбирал, и подсмотреть у него цифры кода на любых N позициях (у разных клиентов он может выбирать разные позиции). Остап хочет узнать код миллионера Корейко. При каком наименьшем N он гарантированно сможет это сделать?
Задача № 216721
Пусть p – простое число. Набор из p + 2 натуральных чисел (не обязательно различных) назовём интересным, если сумма любых p из них делится на каждое из двух оставшихся чисел. Найдите все интересные наборы.
Задача № 216719
В команде сторожей у каждого есть разряд (натуральное число). Сторож N-го разряда N суток дежурит, потом N суток спит, снова N суток дежурит, N – спит, и так далее. Известно, что разряды любых двух сторожей различаются хотя бы в три раза. Может ли такая команда осуществлять ежедневное дежурство? (Приступить к дежурству сторожа могут не одновременно, в один день могут дежурить несколько сторожей.)
Задача № 216705
После обеда на прозрачной квадратной скатерти остались тёмные пятна общей площади S. Оказалось, что если сложить скатерть пополам вдоль любой из двух линий, соединяющих середины противоположных её сторон, или же вдоль одной из двух её диагоналей, то общая видимая площадь пятен будет равна S1. Если же сложить скатерть пополам вдоль другой её диагонали, то общая видимая площадь пятен останется равна S. Какое наименьшее значение может принимать величина S1 : S?
Задача № 216704
Учитель написал на доске в алфавитном порядке все возможные 2n слов, состоящих из n букв А или Б. Затем он заменил каждое слово на произведение n множителей, исправив каждую букву А на x, а каждую букву Б – на (1 – x), и сложил между собой несколько первых из этих многочленов от x. Докажите, что полученный многочлен представляет собой либо постоянную, либо возрастающую на отрезке [0, 1] функцию от x.
Задача № 216700
Для n = 1, 2, 3 будем называть числом n-го типа любое число, которое либо равно 0, либо входит в бесконечную геометрическую прогрессию 1, (n + 2), (n + 2)², ..., либо является суммой нескольких различных её членов. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы числа первого типа, числа второго типа и числа третьего типа.
Задача № 216699
На собрание пришло n человек (n > 1). Оказалось, что у каждых двух из них среди собравшихся есть ровно двое общих знакомых. а) Докажите, что каждый из них знаком с одинаковым числом людей на этом собрании. б) Покажите, что n может быть больше 4.
Задача № 216652
Для натурального a обозначим через P(a) наибольший простой делитель числа a² + 1. Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел a, b, c, что P(a) = P(b) = P(c).
Задача № 216648
В Академии Наук 999 академиков. Каждая научная тема интересует ровно троих академиков, и у каждых двух академиков есть ровно одна тема, интересная им обоим. Докажите, что можно выбрать 250 тем из их общей области научных интересов так, чтобы каждый академик интересовался не более чем одной из них.
Задача № 216574
Известно, что всякую треугольную пирамиду, противоположные рёбра которой попарно равны, можно так разрезать вдоль трёх её рёбер и развернуть, чтобы её развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов (см. рис.). Найдётся ли еще какой-нибудь выпуклый многогранник, который можно так разрезать вдоль нескольких его рёбер и развернуть, чтобы его развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов?
Задача № 216569
Вася нарисовал на плоскости несколько окружностей и провёл всевозможные общие касательные к каждой паре этих окружностей. Оказалось, что проведённые прямые содержат все стороны некоторого правильного 2011-угольника. Какое наименьшее количество окружностей мог нарисовать Вася?
1–25 из 728