Задача № 216627
Решите неравенство: [x]·{x} < x – 1.
Олимпиадные задачи по теме «Действительные числа» для 9 класса - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209946
Решите уравнение {(x + 1)³} = x³.
Задача № 207761
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1. Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда x1 рационально.
Задача № 198298
В ряд выписаны действительные числа a1, a2, a3, ..., a1996. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.
Задача № 198221
{an} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за x идёт 1 – |1 – 2x|. а) Докажите, что если a1 рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая. б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то a1 рационально.
Задача № 198025
Найти число решений в натуральных числах уравнения [x/10] = [x/11] + 1.
Задача № 197865
а) Привести пример такого положительного a, что {a} + {1/a} = 1. б) Может ли такое a быть рациональным числом?
Задача № 186505
Найдите все значения а, для которых выражения а + и 1/а – принимают целые значения.
Задача № 178650
Число 4 обладает тем свойством, что при делении его на q² остаток получается меньше q²/2, каково бы ни было q. Перечислить все числа, обладающие этим свойством.
Задача № 178056
Доказать, что если p/q – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома f(x) с целыми коэффициентами, то p – kq есть делитель числа f(k) при любом целом k.
Задача № 167513
Существует ли такое положительное число , что (Здесь — дробная часть числа , то есть разность между и ближайшим целым числом, не превосходящим .)
Задача № 167498
На доску записали числа , , ..., . Далее за ход стирают любые два числа и , где , и пишут вместо них одно число . После ходов на доске останется одно число. Каким наибольшим оно может быть? (Напомним, что — это наибольшее целое число, не превосходящее .)
Задача № 167400
На часах три стрелки, каждая вращается в ту же сторону, что и обычно, с постоянной ненулевой, но, возможно, неправильной скоростью. Утром длинная и короткая стрелки совпали. Ровно через 3 часа совпали длинная и средняя стрелки. Еще ровно через 4 часа совпали короткая и средняя стрелки. Обязательно ли когда-нибудь совпадут все три стрелки?
Задача № 166897
Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение при иметь более 100 корней? ( обозначает наибольшее целое число, не превосходящее .)
Задача № 166328
Существуют ли нецелые числа x и y, для которых {x}{y} = {x + y}?
Задача № 166162
Число x таково, что обе суммы S = sin 64x + sin 65x и C = cos 64x + cos 65x – рациональные числа. Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.
Задача № 165842
Найдутся ли такие функции p(x) и q(x), что p(x) – чётная функция, а p(q(x)) – нечётная функция (отличная от тождественно нулевой)?
Задача № 165726
Существуют ли такие целые числаaиb, что а) уравнение x² +ax + b= 0 не имеет корней, а уравнение [x²] +ax + b= 0 имеет? б) уравнение x² + 2ax + b= 0 не имеет корней, а уравнение [x²] + 2ax + b= 0 имеет?
Задача № 165620
У чисел 1000², 1001², 1002², ... отбрасывают по две последние цифры. Сколько первых членов полученной последовательности образуют арифметическую прогрессию?
Задача № 165611
Существует ли такое натуральное n, что
Задача № 165593
Известно, что а > 1. Обязательно ли имеет место равенство = ?
Задача № 165555
Назовём треугольник рациональным, если все его углы измеряются рациональным числом градусов. Назовём точку внутри треугольника рациональной, если при соединении её отрезками с вершинами мы получим три рациональных треугольника. Докажите, что внутри любого остроугольного рационального треугольника найдутся как минимум три различные рациональные точки.
Задача № 164622
Число x таково, что среди четырёх чисел ровно одно не является целым. Найдите все такие x.
Задача № 161014
Выведите из теоремы 161013 то, что – иррациональное число.
Задача № 161013
Докажите, что если (p, q) = 1 и p/q – рациональный корень многочлена P(x) = anxn + ... + a1x + a0 с целыми коэффициентами, то а) a0 делится на p; б) an делится на q.
1–25 из 37