Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1. Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда x1 рационально.
В ряд выписаны действительные числа a1, a2, a3, ..., a1996. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.
{an} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за x идёт 1 – |1 – 2x|. а) Докажите, что если a1 рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая. б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то a1 рационально.
Найти число решений в натуральных числах уравнения [x/10] = [x/11] + 1.
Найдите все значения а, для которых выражения а + и 1/а – принимают целые значения.
Число 4 обладает тем свойством, что при делении его на q² остаток получается меньше q²/2, каково бы ни было q. Перечислить все числа, обладающие этим свойством.
Существует ли такое положительное число , что (Здесь — дробная часть числа , то есть разность между и ближайшим целым числом, не превосходящим .)
На доску записали числа , , ..., . Далее за ход стирают любые два числа и , где , и пишут вместо них одно число . После ходов на доске останется одно число. Каким наибольшим оно может быть? (Напомним, что — это наибольшее целое число, не превосходящее .)
На часах три стрелки, каждая вращается в ту же сторону, что и обычно, с постоянной ненулевой, но, возможно, неправильной скоростью. Утром длинная и короткая стрелки совпали. Ровно через 3 часа совпали длинная и средняя стрелки. Еще ровно через 4 часа совпали короткая и средняя стрелки. Обязательно ли когда-нибудь совпадут все три стрелки?
Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение при иметь более 100 корней? ( обозначает наибольшее целое число, не превосходящее .)
Существуют ли нецелые числа x и y, для которых {x}{y} = {x + y}?
Существуют ли такие целые числаaиb, что а) уравнение x² +ax + b= 0 не имеет корней, а уравнение [x²] +ax + b= 0 имеет? б) уравнение x² + 2ax + b= 0 не имеет корней, а уравнение [x²] + 2ax + b= 0 имеет?
Известно, что а > 1. Обязательно ли имеет место равенство = ?
Назовём треугольник рациональным, если все его углы измеряются рациональным числом градусов. Назовём точку внутри треугольника рациональной, если при соединении её отрезками с вершинами мы получим три рациональных треугольника. Докажите, что внутри любого остроугольного рационального треугольника найдутся как минимум три различные рациональные точки.
Число x таково, что среди четырёх чисел ровно одно не является целым. Найдите все такие x.
Выведите из теоремы 161013 то, что – иррациональное число.
Докажите, что если (p, q) = 1 и p/q – рациональный корень многочлена P(x) = anxn + ... + a1x + a0 с целыми коэффициентами, то а) a0 делится на p; б) an делится на q.
Докажите, что на окружности с центром в точке лежит не более одной точки целочисленной решетки.
Один из корней уравнения x² + ax + b = 0 равен 1 + . Найдите a и b, если известно, что они рациональны.
Докажите, что в любой бесконечной десятичной дроби можно так переставить цифры, что полученная дробь станет рациональным числом.
Пусть число α задаётся десятичной дробью а) 0,101001000100001000001...; б) 0,123456789101112131415.... Будет ли это число рациональным?
Докажите, что число рационально тогда и только тогда, когда оно представляется конечной или периодической десятичной дробью.
Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что координаты центра его описанной окружности также рациональны.
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение [x/10] = [x/11] + 1?