Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 5 класса - сложность 1 с решениями

Легко можно разрезать квадрат на два равных треугольника или два равных четырёхугольника.

А как разрезать квадрат на два равных пятиугольника или два равных шестиугольника?

Дан квадрат 7×7 клеток. Можно ли так покрасить некоторые клетки, чтобы в любом квадратике 2×2 была ровно одна закрашенная клетка?

Как, не имея никаких измерительных средств, отмерить 50 см от шнурка, длина которого ⅔ метра?

Население Китая составляет один миллиард человек. Казалось бы, на карте Китая с масштабом1 : 1 000 000 (1 см: 10 км) сможет поместиться в миллион раз меньше людей, чем находится на всей территории страны. Однако на самом деле не только 1000, но даже 100 человек не смогут разместиться на этой карте. Можете ли вы объяснить это противоречие?

Чему равна площадь треугольника со сторонами 18, 17, 35?

И "бокал" (см. левый рисунок), и "рюмка" (см. правый рисунок) составлены из четырех спичек. Внутри каждого "сосуда"  — вишенка. Как нужно переместить "бокал" и "рюмку", переложив по две спички в каждом из них, чтобы вишенки оказались снаружи?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/88185/problem_88185_img_2.gif"></div>

Около каждой вершины треугольника напишите какие-нибудь числа, возле каждой стороны треугольника напишите сумму чисел, стоящих на концах этой стороны. Теперь каждое число, стоящее около вершины, сложите с числом, стоящим около противоположной стороны. Как вы думаете, почему получились одинаковые суммы?

На столе лежат три красные палочки разной длины, сумма длин которых равняется 30 см, и пять синих палочек разной длины, сумма длин которых тоже равняется 30 см. Можно ли распилить те и другие палочки так, чтобы потом можно было расположить их парами, причём в каждой паре палочки были бы одинаковой длины, но разного цвета?

Переложите пирамиду из 10 кубиков (см. рисунок) так, чтобы её форма осталась прежней, но каждый кубик соприкасался только с новыми кубиками.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/88170/problem_88170_img_2.gif"></div>

Попробуйте составить квадрат из набора палочек: 6 шт. по 1 см, 3 шт. по 2 см, 6 шт. по 3 см и 5 шт. по 4 см. Ломать палочки и накладывать одну на другую нельзя.

На линейке длиной 9 см нет делений.

Нанесите на неё три промежуточных деления так, чтобы ею можно было измерять расстояние от 1 до 9 см с точностью до 1 см.

Внутренние покои дворца султана Ибрагима ибн-Саида состоят из 100 одинаковых квадратных комнат, расположенных в виде квадрата10×10 комнат. Если у двух комнат есть общая стена, то в ней обязательно есть ровно одна дверь. А если стена торцевая, то в ней обязательно есть ровно одно окно. Как сосчитать, сколько окон и дверей в покоях Ибрагима ибн-Саида?

Какой длины получится полоса, если кубический километр разрезать на кубические метры и выложить их в одну линию?

Весь комплект косточек домино, кроме 0-0, уложили так, как изображено на рисунке. Разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым  — одинаковые. Сумма очков в каждой строке равна 24. Попробуйте восстановить цифры.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/88100/problem_88100_img_2.gif"></div>

Двадцать восемь косточек домино можно разными способами выложить в виде прямоугольника 8×7 клеток.

На рис. 1-4 приведены четыре варианта расположения цифр в прямоугольниках. Можете ли вы расположить косточки в каждом из этих вариантов?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/88099/problem_88099_img_2.gif"></div><div align="center"><img src="/storage/problem-media/88099/problem_88099_img_2.gif"></div>

Листок календаря частично закрыт предыдущим оторванным листком (см. рисунок). Вершины <i>A</i>и <i>B</i>верхнего листка лежат на <div align="center"><img src="/storage/problem-media/88095/problem_88095_img_2.gif"></div>сторонах нижнего листка. Четвёртая вершина нижнего листка не видна  — она закрыта верхним листком. Верхний и нижний листки, естественно, равны между собой. Какая часть нижнего листка больше  — закрытая или открытая?

Можно ли разрезать квадрат на четыре части так, чтобы каждая часть соприкасалась (т.е. имела общие участки границы) с тремя другими?

В круге отметили точку. Можно ли так разрезать этот круг на три части, чтобы из них можно было бы сложить новый круг, у которого отмеченная точка стояла бы в центре?

Двадцать четыре спички выложены так, как показано на рисунке. Сколько здесь квадратов? Выполните следующие задания:<div align="center"><img src="/storage/problem-media/88057/problem_88057_img_2.gif"></div>а) уберите 4 спички так, чтобы образовалось 4 маленьких квадрата и один большой;

б) уберите 4 спички так, чтобы образовалось 5 равных квадратов;

в) уберите 6 спичек так, чтобы образовалось 5 равных квадратов;

г) уберите 8 спичек так, чтобы образовалось 5 равных квадратов;

д) переложите 12 спичек так, чтобы образовалось 2 равных квадрата;

е) уберите 6 спичек так, чтобы образовалось 2 квадрата и 2 равных неправильных шестиугольника;

ж) уберите 8 спичек так, чтобы образовалось 4 равных квадрата (два решения);

з) уберите 8 спичек так, чтобы образов...

Двенадцать спичек выложены так, как показано на рисунке. Сколько здесь квадратов?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/88056/problem_88056_img_2.gif"></div>Выполните следующие задания: а) уберите 2 спички так, чтобы образовалось 2 неравных квадрата;

б) переложите 3 спички так, чтобы образовалось 3 равных квадрата;

в) переложите 4 спички так, чтобы образовалось 3 равных квадрата;

г) переложите 2 спички так, чтобы образовалось 7 квадратов;

д) переложите 4 спички так, чтобы образовалось 10 квадратов.

Из шахматной доски вырезали две клетки – a1 и h8. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть 31 косточкой домино так, чтобы каждая косточка покрывала ровно две клетки доски?

На мачте пиратского корабля развевается двухцветный прямоугольный флаг, состоящий из чередующихся чёрных и белых вертикальных полос одинаковой ширины. Общее число полос равно числу пленных, находящихся в данный момент на корабле. Сначала на корабле было 12 пленных, а на флаге  — 12 полос; затем два пленных сбежали. Как разрезать флаг на две части, а затем сшить их, чтобы площадь флага и ширина полос не изменились, а число полос стало равным 10?

Когда Гулливер попал в Лилипутию, он обнаружил, что там все вещи ровно в 12 раз короче, чем на его родине. Сможете ли вы сказать, сколько лилипутских спичечных коробков поместится в спичечный коробок Гулливера?

У Джузеппе есть лист фанеры, размером22×15. Джузеппе хочет из него вырезать как можно больше прямоугольных заготовок размером 3×5. Как это сделать?

На какое максимальное число кусков можно разделить круглый блинчик при помощи трех прямолинейных разрезов?