Задача № 210046
Клетки таблицы 200×200 окрашены в чёрный и белый цвета так, что чёрных клеток на 404 больше, чем белых. Докажите, что найдётся квадрат 2×2, в котором число белых клеток нечётно.
Олимпиадные задачи по теме «Геометрия»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 198555
На координатной плоскости расположили треугольник так, что его сдвиги на векторы с целочисленными координатами не перекрываются. а) Может ли площадь такого треугольника быть больше ½? б) Найдите наибольшую возможную площадь такого треугольника.
Задача № 198455
Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC. а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC. б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.