Олимпиадные задачи по теме «Геометрия»

Клетки таблицы 200×200 окрашены в чёрный и белый цвета так, что чёрных клеток на 404 больше, чем белых.

Докажите, что найдётся квадрат 2×2, в котором число белых клеток нечётно.

На координатной плоскости расположили треугольник так, что его сдвиги на векторы с целочисленными координатами не перекрываются.

  а) Может ли площадь такого треугольника быть больше ½?

  б) Найдите наибольшую возможную площадь такого треугольника.

Пусть <i>ABC</i> – остроугольный треугольник, <i>C'</i> и <i>A'</i> – произвольные точки на сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> соответственно, <i>B'</i> – середина стороны <i>AC</i>.

  а) Докажите, что площадь треугольника <i>A'B'C'</i> не больше половины площади треугольника <i>ABC</i>.

  б) Докажите, что площадь треугольника <i>A'B'C'</i> равна четверти площади треугольника <i>ABC</i> тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек <i>A', C'</i> совпадает с серединой соответствующей стороны.