Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Дан четырёхугольник ABCD, противоположные стороны которого пересекаются в точках P и Q. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей ABCD.
Верно ли, что для любых четырёх попарно скрещивающихся прямых можно так выбрать по одной точке на каждой из них, чтобы эти точки были вершинами а) трапеции, б) параллелограмма?
В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из k цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если а) k = 7; б) k = 10.
В треугольнике вписанная окружность с центром касается в точке . Точка – проекция ортоцентра треугольника на медиану из вершины . Докажите, что окружности и высекают на равные отрезки
Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Точка A' – середина отрезка, соединяющего проекции A1 на AB и AC. Аналогично определяются точки B' и C'. а) Докажите, что A', B' и C' лежат на некоторой прямой l'. б) Докажите, что, если l проходит через центр описанной окружности треугольника ABC, то l' проходит через центр его окружности девяти точек.
Найдите барицентрические координаты точки Штейнера.
Найдите уравнения эллипсов Штейнера в барицентрических координатах.
ПустьL— взаимно однозначное отображение плоскости в себя, переводящее любую окружность в некоторую окружность. Докажите, чтоL — аффинное преобразование.
ПустьL— взаимно однозначное отображение плоскости в себя. Предположим, что оно обладает следующим свойством: если три точки лежат на одной прямой, то их образы тоже лежат на одной прямой. Докажите, что тогдаL — аффинное преобразование.
На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Докажите, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.
На плоскости даны три вектораa,b,c, причемa+b+c= 0. Докажите, что эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами ||, ||, || можно составить треугольник.
Докажите, что любой выпуклый шестиугольникABCDEF, в котором каждая сторона параллельна противоположной стороне, аффинным преобразованием можно перевести в шестиугольник с равными диагоналямиAD,BEиCF.
Докажите, что любой выпуклый четырехугольник, кроме трапеции, аффинным преобразованием можно перевести в четырехугольник, у которого противоположные углы прямые.
Докажите, что если M'и N' — образы многоугольников Mи Nпри аффинном преобразовании, то отношение площадей Mи Nравно отношению площадей M'и N'.
Докажите, что если аффинное преобразование переводит некоторую окружность в себя, то оно является либо поворотом, либо симметрией.
Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции растяжения (сжатия) и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.
На плоскости дан многоугольникA1A2...Anи точкаOвнутри его. Докажите, что равенства + = 2 cos, 1 + = 2 cos, to4.5cm + = 2 cos. необходимы...
Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции двух растяжений и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.
Докажите, что если при аффинном (не тождественном) преобразовании Lкаждая точка некоторой прямой lпереходит в себя, то все прямые видаML(M), где в качестве Mберутся произвольные точки, не лежащие на прямой l, параллельны друг другу.
Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон. Докажите, что аффинным преобразованием этот пятиугольник можно перевести в правильный пятиугольник.