Задача № 216340
На стороне BC и на продолжении стороны AB за вершину B треугольника ABC расположены точки M и K соответственно, причём BM : MC = 4 : 5 и BK : AB = 1 : 5. Прямая KM пересекает сторону AC в точке N. Найдите отношение CN : AN.
Олимпиадные задачи по теме «Аффинная геометрия» - сложность 2-5 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 215880
Верно ли, что при любом n правильный 2n-угольник является проекцией некоторого многогранника, имеющего не более, чем n + 2 грани?
Задача № 215878
Дан четырёхугольник ABCD, противоположные стороны которого пересекаются в точках P и Q. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей ABCD.
Задача № 205188
Верно ли, что для любых четырёх попарно скрещивающихся прямых можно так выбрать по одной точке на каждой из них, чтобы эти точки были вершинами а) трапеции, б) параллелограмма?
Задача № 205091
Вычислите
Задача № 186117
В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из k цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если а) k = 7; б) k = 10.
Задача № 178040
На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Доказать, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.
Задача № 167241
В треугольнике вписанная окружность с центром касается в точке . Точка – проекция ортоцентра треугольника на медиану из вершины . Докажите, что окружности и высекают на равные отрезки
Задача № 167104
Пусть – центр вписанной окружности треугольника , а – точка пересечения с внешней биссектрисой угла . Прямая пересекает внешние биссектрисы углов и в точках и . Докажите, что .
Задача № 166978
В неравнобедренном треугольнике точки , , – середины сторон , , соответственно. Биссектриса угла пересекает прямые и в точках и . Докажите, что прямые , и пересекаются в одной точке.
Задача № 166946
Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. ( Изотомическими прямыми треугольника называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми , , симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)
Задача № 165049
Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Точка A' – середина отрезка, соединяющего проекции A1 на AB и AC. Аналогично определяются точки B' и C'. а) Докажите, что A', B' и C' лежат на некоторой прямой l'. б) Докажите, что, если l проходит через центр описанной окружности треугольника ABC, то l' проходит через центр его окружности девяти точек.
Задача № 158408
Найдите барицентрические координаты точки Штейнера.
Задача № 158407
Найдите уравнения эллипсов Штейнера в барицентрических координатах.
Задача № 158384
На сторонахAB,BCи ACтреугольникаABCданы точки M,Nи Pсоответственно. Докажите: а) если точки M1,N1и P1симметричны точкам M,Nи Pотносительно середин соответствующих сторон, тоSMNP=SM1N1P1. б) если M1,N1и P1 — такие точки сторонAC,BAи CB, чтоMM1|BC,NN1|CAи PP1|AB, тоSMNP=SM1N1P1.
Задача № 158383
В параллелограммеABCDточки A1,B1,C1,D1лежат соответственно на сторонахAB,BC,CD,DA. На сторонахA1B1,B1C1,C1D1,D1A1четырехугольникаA1B1C1D1взяты соответственно точки A2,B2,C2,D2. Известно, что = = = = = = = . Докажите, чтоA2B2C2D2 — параллелограмм со сторонами, параллельными сторонамABCD.
Задача № 158382
В трапецииABCDс основаниямиADи BCчерез точку Bпроведена прямая, параллельная сторонеCDи пересекающая диагональACв точке P, а через точку C — прямая, параллельная сторонеABи пересекающая диагональBDв точке Q. Докажите, что прямаяPQпараллельна основаниям трапеции.
Задача № 158381
Дан треугольникABC. Пусть O — точка пересечения его медиан, а M,Nи P — точки сторонAB,BCи CA, делящие эти стороны в одинаковых отношениях (т. е.AM:MB=BN:NC=CP:PA=p:q). Докажите, что: а)O — точка пересечения медиан треугольникаMNP; б)O — точка пересечения медиан треугольника, образованного прямымиAN,BPи CM.
Задача № 158380
На сторонахAB,BCи CDпараллелограммаABCDвзяты точки K,Lи Mсоответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть b,c,d — прямые, проходящие через B,C,Dпараллельно прямымKL,KM,MLсоответственно. Докажите, что прямые b,c,dпроходят через одну точку.
Задача № 158379
Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие противоположную сторону треугольника на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной точке.
Задача № 158378
ПустьL— взаимно однозначное отображение плоскости в себя, переводящее любую окружность в некоторую окружность. Докажите, чтоL — аффинное преобразование.
Задача № 158377
ПустьL— взаимно однозначное отображение плоскости в себя. Предположим, что оно обладает следующим свойством: если три точки лежат на одной прямой, то их образы тоже лежат на одной прямой. Докажите, что тогдаL — аффинное преобразование.
Задача № 158376
На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Докажите, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.
Задача № 158375
На плоскости даны три вектораa,b,c, причемa+b+c= 0. Докажите, что эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами ||, ||, || можно составить треугольник.
Задача № 158374
Докажите, что любой выпуклый шестиугольникABCDEF, в котором каждая сторона параллельна противоположной стороне, аффинным преобразованием можно перевести в шестиугольник с равными диагоналямиAD,BEиCF.
1–25 из 39