Олимпиадная задача по последовательностям для 10-11 классов — автор Штейнгарц Л.
Дана бесконечная последовательность чисел a1, a2, a3, ... Известно, что для любого номера k можно указать такое натуральное число t, что
ak = ak+t = ak+2t = ... Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное T, что ak = ak+T при любом натуральном k?
Показать ответ
Не обязательно.
Разобрать решение
Пусть an равно наибольшей степени 2, на которую делится n (a1 = 1, a2 = 2, a3 = 1, a4 = 4, a5 = 1, a6 = 2, a7 = 1, a8 = 8). Эта последовательность, очевидно, не периодична (в ней бесконечно много разных членов), однако для каждого k можно взять t = 2k. Действительно, числа k, 3k, 5k, 7k, ... делятся на одну и ту же степень двойки.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.