Олимпиадная задача по стереометрии: числа на рёбрах тетраэдра, 10-11 класс

Решение 1:Пусть площадь наименьшей грани равна s, наибольшей – S, а двух оставшихся граней – a и b. Напишем на стороне, общей для наименьшей и наибольшей граней, число s, а на остальных двух рёбрах наименьшей грани – по нулю. На двух других других рёбрах наибольшей грани напишем числа  ½ (S – b + a – s)  и  ½ (S – a + b – s)  (каждое из них неотрицательно как сумма двух неотрицательных чисел). Наконец на единственном пока ещё пустом ребре напишем число   ½ (a + b + s – S)  (оно неотрицательно, так как проекции трёх граней покрывают четвёртую, а площадь грани не меньше площади её проекции на другую грань). Нетрудно проверить, что условие выполнено.

Решение 2:Впишем в тетраэдр сферу и рассмотрим все треугольники, образованные какой-то парой вершин тетраэдра и точкой касания сферы с гранью, содержащей эти вершины. К каждому ребру тетраэдра примыкает по два таких треугольника (см. рисунок).

Они равны по трём сторонам. Напишем на каждом ребре площадь примыкающего к нему треугольника. Сумма чисел на сторонах грани – это сумма площадей трёх треугольников, на которые эта грань разбивается, то есть как раз площадь грани.