Олимпиадная задача о шахматной доске и рисовых зёрнах: текстовая задача 5–6 классы

  Пусть, например, клетка A, в которой три зёрнышка, находится на k клеток левее и на n клеток ниже, чем клетка B, в которой 17 зернышек. Рассмотрим кратчайшие пути, ведущие из клетки A в клетку B. Каждый такой путь состоит из k шагов на соседнюю клетку вправо и n шагов на соседнюю клетку вверх, сделанных в произвольном порядке, то есть в любом случае такой путь состоит из  k + n  шагов. На каждом шаге количество зёрен меняется ровно на 1, а за весь путь количество зёрен изменяется на  17 – 3 = 14.  Но, исходя из размеров шахматной доски, количество возможных шагов как вверх, так и вправо не может быть больше 7, то есть кратчайший путь не может содержать больше 14 шагов. Следовательно, должно быть ровно 7 шагов вправо и ровно 7 шагов вверх, причём на каждом шаге количество зёрен должно увеличиваться. Значит, если клетка A ниже и левее, чем клетка B, то они обе лежат на главной диагонали, ведущей вправо-вверх (A – в левом нижнем углу, а B – в правом верхнем). В этом случае количество зёрен в каждой клетке восстанавливается однозначно (см. рис.).

  Тогда на указанной главной диагонали находится  3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 80  зёрен. На другой главной диагонали находится  8·10 = 80 зёрен.   Другие возможные случаи расположения данных клеток отличаются от рассмотренного только симметрией (осевой или центральной).