Олимпиадная задача Жукова Г. о натуральных степенях двойки и принципе крайнего для 8–10 классов
На доске написано несколько натуральных чисел. Сумма любых двух из них – натуральная степень двойки.
Какое наибольшее число различных может быть среди чисел на доске?
Показать ответ
Два числа.
Разобрать решение
Пусть a – наибольшее из чисел на доске. Оно находится между какими-то степенями двойки: 2n ≤ a < 2n+1. Прибавив к a какое-нибудь другое из написанных чисел b, получим степень двойки a + b, для которой 2n < a + b ≤ 2a < 2n+2. Значит, a + b = 2n+1. Итак, все остальные числа равны
2n+1 – a, то есть различных среди написанных чисел не более двух. А два числа могут быть, например, 1 и 3.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.