Олимпиадная задача по комбинаторной геометрии для 9-11 класса: цвета узлов сетки

  Из условия следует, что на каждые два соседних узла – разного цвета. Рассмотрим какую-нибудь горизонтальную прямую m данной сетки. Если на ней чередуются узлы только двух цветов, то она и является искомой.

  Пусть это не так, и на прямой m находятся узлы более двух цветов, тогда в каком-то месте три узла разных цветов идут подряд. Обозначим эти цвета слева направо через А, В и С (см. рис.).

  Над точкой цветаВ(и под ней) может находиться только точка четвёртого цвета (обозначим егоD), слева от которой должна быть точка цветаС, а справа – точка цветаА. Над точкой цветаD(и под ней) может находиться только точка цветаВ, слева от нее – точка цветаА, а справа – точка цветаС.   Таким образом, на горизонтальных прямыхnиkповторилась раскраска трёх точек прямойm. Рассуждая аналогично, получим, что такая раскраска будет неограниченно повторяться как вверх, так и вниз. Значит, нашлись три вертикальные прямые (p, qиr), на которых бесконечно чередуются узлы двух цветов.