Олимпиадная задача по тригонометрии для 10-11 классов: иррациональность косинуса
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Показать ответ
Не существует.
Разобрать решение
Предположим противное. Тогда число A = cos α + cos 5α иррационально как сумма рационального и иррационального. С другой стороны,
A = 2 cos 2α cos 3α рационально как произведение трёх рациональных чисел. Противоречие.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.