Олимпиадная задача по математике: отмеченные числа в таблице 4×4 (Шаповалов, 6–7 класс)
Числа от 1 до 16 расставлены в таблице 4×4. В каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали (включая диагонали из одной клетки) отметили самое большое из стоящих в ней чисел (одно число может быть отмечено несколько раз). Могли ли оказаться отмечены
а) все числа, кроме, быть может, двух?
б) все числа, кроме, быть может, одного?
в) все числа?
Показать ответ
а), б) Могли; в) не могли.
Разобрать решение
Числа в углах будут отмечены в любом случае – это числа, стоящие на диагоналях длины 1. Среди остальных чисел есть хотя бы одно неотмеченное. Действительно, рассмотрим наименьшее из чисел, не стоящих в углах. Оно не отмечено, так как на каждой линии вместе с ним есть и другие "неугловые" числа. Значит, все числа отмечены быть не могут.
На рисунке приведён пример таблицы, в которой будут отмечены все числа, кроме одного.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.