Олимпиадная задача по стереометрии для 10-11 класса — многогранники, Гарбер А.

Назовем вершину, в которой сходится ровно 3 ребра, хорошей. Докажем, что никакие две хорошие вершины не лежат в одной грани. Предположим противное – пусть хорошие вершины A и B лежат в одной грани ABC . Ребро AB принадлежит еще одной грани ABD . Поскольку вершина A – хорошая, то кроме AB , AC , AD нет других ребер, выходящих из A . В вершине A сходятся ровно 3 грани – ABC , ABD и грань, содержащая ребра AC и AD , т.е. грань ACD . Аналогично получаем, что BCD является гранью многогранника. Получается, что многогранник является тетраэдром ABCD , что противоречит условию n 3.

Из доказанного следует, что каждой хорошей вершине можно сопоставить три грани, сходящиеся в ней, причем различным хорошим вершинам сопоставлены разные грани. Отсюда следует, что количество хороших вершин не превосходит .

Опишем построение выпуклого2n -гранника, для которого количество хороших вершин равно[].

Определим вначале процедуру наращивания грани многогранника T с треугольными гранями. Пусть KLM – одна из граней, KLP , LMQ , MKR – грани, отличные от KLM , содержащие соответственно ребра KL , LM , MK (точки P , Q , R не обязательно различны) (см. рис.) .

Пусть X – некоторая внутренняя точка треугольника KLM . На перпендикуляре к плоскости KLM , восставленном в точке X , вне многогранника T выберем такую точку N , что точки K и N лежат по одну сторону от плоскости LMQ , L и N – по одну сторону от MKR , M и N – по одну сторону от KLP (этого можно добиться, выбирая длину XN достаточно малой). Рассмотрим многогранник T' , получаемый добавлением к T пирамиды KLMN . По построению многогранник T' – выпуклый. Будем говорить, что T' получен из T наращиванием грани KLM . Если n=3, то нарастив одну из граней тетраэдра, получим пример шестигранника с двумя хорошими вершинами.

Пусть n 4. В зависимости от остатка при делении на 3, представим n в виде n=3k , n=3k-1или n=3k-2для некоторого натурального k 2. Рассмотрим тетраэдр и нарастим некоторую его грань; у полученного многогранника нарастим еще одну грань; и т.д. При каждой операции количество граней увеличивается на 2, поэтому через(k-2)операции мы получим выпуклый2k -гранник, все грани которого треугольные. Отметим n-k граней этого многогранника и последовательно их нарастим. При этом образуется n-k=[]новых вершин, и каждая из них является хорошей.